Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

Đặt \(\dfrac{x+1}{x-1}=t\)

\(\Rightarrow t^2-6t+5=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}=1\\\dfrac{x+1}{x-1}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=x-1\left(vô-nghiệm\right)\\x+1=5x-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

a, Với m=1 thay vào pt 

Ta có

\(x^2+x-1=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

b, 

Thay x=2 vào pt

ta có

\(4-2-3m+2=0\)

\(\Leftrightarrow4-3m=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}\)

c, Ta có

\(\Delta=1-4\left(-3m+2\right)\)

\(=12m-7\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Rightarrow12m-7>0\)

\(\Rightarrow m>\dfrac{7}{12}\)

d, 

Để ptcos nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Rightarrow12m-7=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{7}{12}\)

e, 

Để pt vô nghiệm thì \(\Delta< 0\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{7}{12}\)

Ta có \(\Delta =(2m-3)^2-4(m^2-3m)=4m^2-12m+9-4m^2+12m=9>0\forall m\) .

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.

▲'  = b'² - ac = (-1)² - 1.(-m² -4) = 1 + m² + 4 = m² + 5 luôn lớn hơn 0 với mọi m 

=> phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 

Ta có: \(\Delta=4-4\cdot1\cdot\left(-m^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4+4\left(m^2+4\right)=4+4m^2+16\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2+20>0\forall m\)

Vậy: Phương trình luôn có nghiệm(đpcm)

\(\Delta^,=b^2-ac=1^2-\left(-m^2-4\right)=m^2+5\)

Ta có \(m^2\ge0\)  với mọi m

suy ra m² + 5 > 0

suy ra \(\Delta^'>0\) . Vậy pt  luôn có 2 nghiệm phân biệt

1) \(4x^2-9=0\)

Theo pt ta có: \(a=4;b=0;c=-9\)

\(\Delta=b^2-4ac=0^2-4.4.\left(-9\right)=144>0\)

=> Pt có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-0-\sqrt{144}}{2.4}=-\dfrac{3}{2}\\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-0+\sqrt{144}}{2.4}=\dfrac{3}{2}\)

2) \(-2x^2+50=0\)

Theo pt ta có: \(a=-2;b=0;c=50\)

\(\Delta b^2-4ac=0^2-4.\left(-2\right).50=400>0\)

=> PT có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-0-\sqrt{400}}{2.\left(-2\right)}=5\\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-0+\sqrt{400}}{2a}=-5\)

3) \(3x^2+11=0\)

Theo pt ta có: \(a=3;b=0;c=11\)

\(\Delta=b^2-4ac=0^2-4.3.11=-132< 0\)

=> PT vô nghiệm

1) 4x² - 9 = 0

=>4x²=9

=>x²=9/4

=>x=\(\pm\dfrac{3}{2}\)

2) - 2x² + 50 = 0

=>2x²=50

=>x²=25

=>x=\(\pm5\)

 3) 3x² + 11 = 0 

=>3x²=-11

=>x²=-11/3(vo li)

=>x\(\in\phi\)

1) 4x² - 9 = 0

 = 0² - 4.4.(-9) = 144 > 0

=> pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt :

x₁ = \(\dfrac{\text{ −b+√Δ}}{2a}=\dfrac{-0+\sqrt{144}}{2.4}=\dfrac{3}{2}\)

x₂ =\(\dfrac{\text{ −b−√Δ}}{2a}=\dfrac{-0-\sqrt{144}}{2.4}=-\dfrac{3}{2}\)

2) - 2x² + 50 = 0 

\(\Delta=b^2-4ac\) = 0² - 4.(-2).50 = 400 > 0

=> pt có 2 nghiệm phân biệt :

x₁ = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2.a}=\dfrac{-0+\sqrt{400}}{2.\left(-2\right)}=-5\)

x₂ = \(\text{​​}\text{​​}\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2.a}=\dfrac{-0-\sqrt{400}}{2.\left(-2\right)}=5\)

3) 3x² + 11 = 0

 = 0² - 4.3.11 = -132 < 0

=> pt vô nghiệm 

a) \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2-1=0\left(1\right)\)

Thay : m = -1 vào (1) :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-2x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

b) Với : x = 2 , thay vào (1) : 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^2-2\left(m+2\right)+m^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2x+1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1=\sqrt{2}\\m-1=-\sqrt[]{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{2}+1\\m=-\sqrt{2}+1\end{matrix}\right.\)

a) Thay m=-1 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-1+2\right)x+\left(-1\right)^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=-1 thì phương trình có nghiệm là S={0;2}

b) Để phương trình có nghiệm là 2 thì

Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(2^2-2\cdot\left(m+2\right)\cdot2+m^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-1+4-4\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+3-4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-5=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m+m-5=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-5\right)+\left(m-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-5=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy:Để phương trình có nghiệm x=2 thì \(m\in\left\{5;-1\right\}\)