Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}.1}\le\dfrac{\dfrac{b+c}{a}+1}{2}=\dfrac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) ___(1)___

Tương tự \(\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) __(2)__; \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) __(3)__

Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( vô lí vì trái với giả thuyết bài ra )

Vậy ta có điều phải C/m

Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Làm câu 1 nhé :

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+b^6\ge6\sqrt[6]{a^6a^6a^6a^6a^6b^6}=6a^5b\) ( 1 )

Tiếp tục dùng Cô si ta có :

\(a^6+b^6+b^6+b^6+b^6+b^6\ge6\sqrt[6]{a^6b^6b^6b^6b^6b^6}=6ab^5\) ( 2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có :

\(6\left(a^6+b^6\right)\ge6\left(a^5b+ab^5\right)\)

\(\Rightarrow a^6+b^6\ge a^5b+ab^5\)

=>ĐPCM

Câu 2:

Giải:

Ta có: \(A=\dfrac{2x^2+4x+13}{x^2+2x+6}=\dfrac{2\left(x^2+2x+6\right)+1}{x^2+2x+6}=2+\dfrac{1}{x^2+2x+6}\)

\(=2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\)

Vì \(\left(x+1\right)^2+5\ge0\) nên để A lớn nhất thì \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\) lớn nhất thì \(\left(x+1\right)^2+5\) nhỏ nhất

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+5\ge5\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\le\dfrac{1}{5}=0,2\)

\(\Rightarrow A=2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\le2+0,2=2,2\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(MAX_A=2,2\) khi x = -1

câu 3:

ta có: \(\sqrt{6}< \sqrt{9}\Leftrightarrow\sqrt{6}< 3\Leftrightarrow6+\sqrt{6}< 6+3\Leftrightarrow6+\sqrt{6}< 9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{6+\sqrt{6}}< 3\Leftrightarrow6+\sqrt{6+\sqrt{6}}< 3+6\Leftrightarrow6+\sqrt{6+\sqrt{6}}< 9\Leftrightarrow\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}< 3\)

\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-1\cdot\left(-3\right)\)

\(=m^2+2m+1+3\\ =m^2+2m+4\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\Delta'=0\\ \Leftrightarrow m^2+2m+4=0\) (1)

\(\Delta'_m=1^2-1\cdot4=1-4=-3\)

Vì \(\Delta'< 0\) nên pt (1) vô nghiệm

Vậy ko có giá trị nào của m để pt đã cho có nghiệm kép