Ta có: \(\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{3^2}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100^2}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100}-1\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)\cdot...\left(\dfrac{1}{100}+1\right)\)

\(=\dfrac{-1}{2}\cdot\dfrac{-2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{-99}{100}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{101}{100}\)

\(=\dfrac{-1}{100}\cdot\dfrac{101}{2}=-\dfrac{101}{200}\)

a: Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

b: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC
c: Xét ΔMEB vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có

MB=MC

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMEB=ΔMFC

=>ME=MF

=>M là trung điểm của EF

a: Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAED

=>DB=DE

b: ΔABD=ΔAED

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)

Để \(\widehat{AED}=90^0\) thì \(\widehat{ABD}=90^0\)

=>\(\widehat{ABC}=90^0\)

c: Xét ΔAEK và ΔABC có

\(\widehat{AEK}=\widehat{ABC}\)

AE=AB

\(\widehat{EAK}\) chung

Do đó: ΔAEK=ΔABC

=>\(\widehat{AKE}=\widehat{ACB}\)

d: ΔAEK=ΔABC

=>AK=AC

TA có: AK=AB+BK

AC=AE+EC

mà AK=AC và AB=AE

nên BK=EC

Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{KBD}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{AED}+\widehat{CED}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)

nên \(\widehat{KBD}=\widehat{CED}\)

Xét ΔDBK và ΔDEC có

DB=DE

\(\widehat{DBK}=\widehat{DEC}\)

BK=EC

Do đó: ΔDBK=ΔDEC

\(C=\dfrac{3^2}{5\cdot8}+\dfrac{3^2}{8\cdot11}+...+\dfrac{3^2}{302\cdot305}\)

\(=3\left(\dfrac{3}{5\cdot8}+\dfrac{3}{8\cdot11}+...+\dfrac{3}{302\cdot305}\right)\)

\(=3\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{302}-\dfrac{1}{305}\right)\)

\(=3\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{305}\right)=3\cdot\dfrac{60}{305}=\dfrac{180}{305}=\dfrac{36}{61}\)

\(x^2-2x+1=x^2-x-x+1\)

=x(x-1)-(x-1)

=(x-1)(x-1)

\(=\left(x-1\right)^2\) là số chính phương với mọi số nguyên x

Bài 8:

Gọi giao điểm của CO với tia DB là H

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBH vuông tại B có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBH

=>AC=BH và OC=OH

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOH vuông tại O có

DO chung

OC=OH

Do đó: ΔDOC=ΔDOH

=>DC=DH

mà DH=DB+BH và BH=AC

nên DC=CA+BD

Bài 9:

a: CB=CE

=>ΔCBE cân tại C

=>\(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}=\dfrac{180^0-\widehat{BCE}}{2}=\dfrac{\widehat{BCA}}{2}\)

mà \(\widehat{DCB}=\widehat{ACD}=\dfrac{\widehat{BCA}}{2}\)

nên \(\widehat{CBE}=\widehat{CEB}=\widehat{DCB}=\widehat{ACD}\)

Ta có: \(\widehat{ACD}=\widehat{AEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DC//BE

b: ΔCBE cân tại C

mà CM là đường trung tuyến

nên CM\(\perp\)BE

mà BE//DC

nên CM\(\perp\)CD

Bài 1:

\(M=2x^2+4y^2+6x-4y+2024\)

\(=2x^2+6x+\dfrac{9}{2}+4y^2-4y+1+2018,5\)

\(=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(2y-1\right)^2+2018,5>=2018,5\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{2}=0\\2y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)

=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: a=b=c

mà a+b+c=2022

nên \(a=b=c=\dfrac{2022}{3}=674\)

(-68)+15+(-35)+68

=(-68+68)+(15-35)

=0+(-20)

=-20

a: Xét tứ giác CAOM có \(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{MOB}=180^0-\widehat{MOA}=2\left(90^0-\widehat{MOC}\right)=2\cdot\widehat{MOD}\)

=>OD là phân giác của góc MOB

Xét ΔOMD và ΔOBD có

OM=OB

\(\widehat{MOD}=\widehat{BOD}\)

OD chung

Do đó: ΔOMD=ΔOBD

=>\(\widehat{OMD}=\widehat{OBD}=90^0\)

\(\widehat{CMD}=\widehat{CMO}+\widehat{DMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>C,M,D thẳng hàng

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2=R^2\)

Lớp 5C thu gom nhiều hơn lớp 5A là:

12+3=15(kg)

Khối lượng giấy vụn lớp 5A thu gom được là:

(144-12-15):3=117:3=39(kg)

Khối lượng giấy vụn lớp 5B thu gom được là:

39+3=42(kg)

Khối lượng giấy vụn lớp 5C thu gom được là:

39+15=54(kg)