Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4.1.\left(2m-6\right)=4m^2-8m+4-8m+24\)

\(=4m^2-16m+28\)

\(=\left(2m-4\right)^2+12>0\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

@Akai Haruma

\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\left(1\right)\)

ĐK: \(c\ge0\)

Đặt: \(y=x+\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+a=y+\dfrac{a-b}{2}\\x+b=y-\dfrac{a-b}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt: \(\dfrac{a-b}{2}=m\)

\(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\)

\(\Leftrightarrow\left(y+m\right)^4+\left(y-m\right)^4=c\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(y+m\right)^2+\left(y-m\right)^2\right]^2-2\left(y+m\right)^2.\left(y-m\right)^2=c\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2m^2\right)^2-\left(2y^2-2m^2\right)^2=c\)

\(\Leftrightarrow4y^4+8y^2m^2+4m^4-2y^4+4y^2m^2-2m^4=c\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2m^2+2m^4=c\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2m^2+m^4-\dfrac{c}{2}=0\)

Đặt: \(t=y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow t^2+6m^2t+m^4-\dfrac{c}{2}=0\left(2\right)\)

Ta có: \(\Delta'=8m^4+\dfrac{c}{2}\ge0\Rightarrow\) phương trình (2) luôn có nghiệm

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(t_1+t_2=-6m^2\le0\) \(\forall m\in R\Rightarrow\) Phương trình 2 không thể có 2 nghiệm cùng mang dấu dương

Để phương trình 1 có nghiệm thì \(t_1,t_2\) không thể cùng mang dấu âm

\(\Rightarrow\) Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có ít nhất 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow m^4-\dfrac{c}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow c\ge2m^4\Rightarrow c\ge2\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^4=\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\)

Vậy với \(c\ge\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\) phương trình (1) có nghiệm.

Ta có :

\(9x^2+6x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2+6x+1\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2=-1\)

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm .

b: PTHĐGĐ là:

\(\dfrac{2}{3}x^2-x-\dfrac{5}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x-5=0\)

=>(2x-5)(x+1)=0

=>x=5/2 hoặc x=-1

Khi x=5/2 thì \(y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{25}{4}=\dfrac{50}{12}=\dfrac{25}{6}\)

Khi x=-1 thì y=2/3

b: \(11y_A=8y_B\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{22}{3}\cdot x_A^2=8\cdot\left(x_B+\dfrac{5}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow22x_A^2=24x_B+40\)

\(\Leftrightarrow11x_A^2-12x_A-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=x_B=2\\x_A=x_B=\dfrac{-10}{11}\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 vào (P), ta được: \(y=\dfrac{2}{3}\cdot2^2=\dfrac{8}{3}\)

Thay x=2 vào (d), ta được: \(y=2+\dfrac{5}{3}=\dfrac{11}{3}\)

Thay x=-10/11 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{100}{121}=\dfrac{200}{363}\)

Thay x=-10/11 vào (d), ta được: \(y=-\dfrac{10}{11}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{33}\)

a: PTHĐGĐ là: \(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2 hoặc x=-1

Khi x=2 thì y=4

Khi x=-1 thì y=1

b: Thay x=5 vào (d), ta được:

\(y=5+2=7\)

Thay y=-2 vào (P),ta được:

\(x^2=-2\)(vô lý)

Vậy: A(5;7), điểm B không tồn tại

bạn muỗn mk giải chi tiết câu nào v?

Bài 2: Gọi vận tốc của cano khi nước yên lặng là \(x\left(km/h\right)\left(x>0\right)\)

Thời gian cano đi và về bằng thời gian người đi bộ đi được 8km và bằng:\(\dfrac{8}{4}=2\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy đi : \(\dfrac{24}{x+4}\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy về: \(\dfrac{24-8}{x-4}=\dfrac{16}{x-4}\left(h\right)\)

Ta có pt: \(\dfrac{24}{x+4}+\dfrac{16}{x-4}=2\Rightarrow24x-96+16x+64=2x^2-32=0\Leftrightarrow20x-x^2=0\Leftrightarrow x\left(20-x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=20\end{matrix}\right.\)

Vì vận tốc của cano > 0 nên x = 20.Vậy vận tốc của cano khi nước yên lặng là 20km/h

Đặt \(t=x^2\)

\(\Leftrightarrow5t^2+4t-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5t-1\right)\left(t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5t-1=0\\t+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{1}{5}\\t=-1\end{matrix}\right.\)

Với \(t=\dfrac{1}{5}\) :

\(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Với \(t=-1\)

\(\Leftrightarrow x^2=-1\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Vậy \(S=\left\{\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right\}\)

5x⁴ + 4x²

=> 5t² + 4t

=> x =

x ∉ R

x₁ = ; x₂ =

​

a: \(\Leftrightarrow x^2+\left(2m-2\right)x-2m-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(-2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m+20=4m^2+24>0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b:

Khi m=2 thì pt trở thành: \(x^2+2x-9=0\) \(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1\cdot x_2}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-9\right)}{\left(-9\right)^2}=\dfrac{4+18}{81}=\dfrac{22}{81}\)

(a=m; b=-4+2; c=3m-2)

(xong tính denta theo công thức là xong rồi đó).