Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

1. Hệ thức Vi - ét

Xét phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\): 

Ta đã biết: trong trường hợp \(\Delta\ge0\), phương trình có nghiệm và chúng được viết dưới dạng: \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Khi đó ta có:

\(x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\dfrac{b}{a}\);

\(x_1x_2=\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\).

Như vậy, ta có kết luận: 

ĐỊNH LÍ VI - ÉT:

Nếu \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Ta xét bài toán: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng \(S\) và tích của chúng bằng \(P\).

Gọi một số cần tìm là \(x\) thì số còn lại phải là \(S-x\).

Theo giả thiết, ta có: \(x\left(S-x\right)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\).

Nếu \(\Delta=S^2-4P\ge0\) thì phương trình trên có nghiệm. Các nghiệm này chính là số cần tìm.

Như vậy ta có kết luận: 

Nếu hai số có tổng là \(S\) và tích là \(P\) thì hai số đó là nghiệm của phương trình 

\(x^2-Sx+P=0\)

Điều kiện để có hai số đó là \(S^2-4P\ge0\).

Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 27 và tích của chúng là 180?

Lời giải:

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-27x+180=0\).

Ta có: \(\Delta=27^2-4.1.180=729-720=9>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{27+\sqrt{9}}{2}=15,x_2=\dfrac{27-\sqrt{9}}{2}=12\).

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.

Chú ý: Trong một số trường hợp, ta có thể dùng tổng và tích để nhẩm nhanh các số cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 8?

Lời giải:

Ta có thể nhẩm nhanh được: 2+4=6, 2.4=8. Vậy hai số cần tìm là 2 và 4.

3. Ứng dụng của hệ thức Vi - ét

a) Tìm nghiệm còn lại khi đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai:

Ta xét hai trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 1: Xét phương trình \(2x^2-5x+3=0\).

Ta có: \(a+b+c=2+\left(-5\right)+3=0\).

Thay \(x=1\) vào phương trình trên ta được: \(2.1^2-5.1+3=0\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\) \(x_1=1\) là một nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi - ét: \(x_1.x_2=\dfrac{3}{2}\Rightarrow x_2=\dfrac{3}{2}\).

Ta có nhận xét tổng quát: 

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\), một nghiệm là \(x_2=\dfrac{c}{a}\).

Ví dụ 2: Xét phương trình \(3x^2+7x+4=0\).

Ta có: \(a-b+c=3-7+4=0\).

Thay \(x=-1\) vào phương trình ta được: \(3.\left(-1\right)^2+7.\left(-1\right)+4=0\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow x_1=-1\) là một nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi - ét: \(x_1.x_2=\dfrac{4}{3}\Rightarrow x_2=-\dfrac{4}{3}\).

Ta có nhận xét tổng quát: 

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\), một nghiệm là \(x_2=-\dfrac{c}{a}\).

Áp dụng: Tìm nghiệm của phương trình \(5x^2-6x+1=0\)?

Ta có \(5+\left(-6\right)+1=0\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm \(x_1=1;x_2=\dfrac{1}{5}\).

Ví dụ: Biết \(x=-3\) là một nghiệm của phương trình \(3x^2+2x-21=0\). Tìm nghiệm còn lại?

Gọi nghiệm còn lại của phương trình là \(x\). Theo hệ thức Vi - ét ta có: 

\(-3.x=-\dfrac{21}{3}=-7\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).

b) Giải quyết nhiều bài toán chứa tham số:

Ví dụ: Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+2=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(3x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0\).

Lời giải:

Ta có: \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+2\right)=4m-7\).

Phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4m-7\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{7}{4}\).

Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\).

Khi đó ta có: \(3x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(m^2+2\right)-5\left(2m+1\right)+7=0\\ \Leftrightarrow3m^2-10m+8=0\)

\(\Delta=\left(-10\right)^2-4.3.8=4>0\) \(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{10+2}{6}=2\left(TM\right)\\m_2=\dfrac{10-2}{6}=\dfrac{4}{3}\left(L\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy giá trị cần tìm là \(m=2\).