Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\).

a) Chứng minh điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Xác định tâm và bán kính đường tròn \(\left( C \right)\).

c) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Từ đó, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).

   Cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\) và điểm \(A\left(3;0\right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) qua \(A\) và cắt đường thẳng \(\left(C\right)\) theo dây cung \(MN\) sao cho:

a) \(MN\) lớn nhất

b) \(MN\) nhỏ nhất

    Viết phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) vuông góc với đường thẳng \(\left(d\right):x+y+6=0\) và \(\left(\Delta\right)\) cắt đường tròn \(\left(C\right):\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\) tại hai điểm M và N sao cho \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{25}{2}\) ( biết \(I\) là tâm đường tròn )

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I có tung độ dương và thuộc đường thẳng d:3x+y+4=0 . Phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với các trục toạ độ là 

a) \(\left(x+1\right)^{2^{ }}+\left(y+1\right)^{2^{ }}=2\)

b) \(\left(x+2\right)^{2^{ }}+\left(y-2\right)^{2^{ }}=4\)

c) \(\left(x-1\right)^{2^{ }}+\left(y-1\right)^{2^{ }}=2\)

d) \(\left(x-2\right)^{2^{ }}+\left(y+2\right)^{2^{ }}=4\)

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I có tung độ dương và thuộc đường thẳng d:3x+y+4=0 . Phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với các trục toạ độ là 

a) \(\left(x+1\right)^{2^{ }}+\left(y+1\right)^{2^{ }}=2\)

b) \(\left(x+2\right)^{2^{ }}+\left(y-2\right)^{2^{ }}=4\)

c) \(\left(x-1\right)^{2^{ }}+\left(y-1\right)^{2^{ }}=2\)

d) \(\left(x-2\right)^{2^{ }}+\left(y+2\right)^{2^{ }}=4\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=48\) và đường thẳng \(\left(d\right):\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{\sqrt{2}}\) . Điểm \(M\left(a;b;c\right)\left(a>0\right)\) nằm trên đường thẳng \(\left(d\right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được 3 tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) đến mặt cầu \(\left(S\right)\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=60^o,\widehat{BMC}=90^o,\widehat{CMA}=120^o\). Tính \(Q=a+b-c\)?

Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường tròn :

\(\left(C_1\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=4\)

\(\left(C_2\right):\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\)

\(\left(C_3\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2=5\)

Trong hai đường tròn \(\left(C_2\right)\) và \(\left(C_3\right)\), đường tròn là ảnh của \(\left(C_1\right)\) qua phép tịnh tiến. Xác định phép tịnh tiến này ?