Ôn tập cuối năm môn Đại số 11

Đặt \(log_5x=t\) \(\Rightarrow x=5^t\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=4\\t_1t_2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=5^{t_1}.5^{t_2}=5^{t_1+t_2}=5^4=625\)

Đặt \(log_{20}a=log_8b=log_{125}\left(5a+12b\right)=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=20^k\\b=8^k\\5a+12b=125^k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5.20^k+12.8^k=125^k\)

\(\Rightarrow5.\left(\dfrac{4}{25}\right)^k+12.\left(\dfrac{8}{125}\right)^k=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^k=x>0\)

\(\Rightarrow5x^2+12x^3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(4x^2+3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{5}\right)^k=\dfrac{1}{3}\)

\(P=\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{20^k}{8^k}+1=\left(\dfrac{5}{2}\right)^k+1=3+1=4\)

Gọi A là số tiền vay (ở đây là 200tr), r% là lãi suất hàng tháng, X là số tiền hoàn nợ mỗi tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền nợ ngân hàng là: \(A.\left(1+r\right)^1\) (triệu)

Sau đó trả X triệu nên số tiền nợ là: \(S_1=A\left(1+r\right)^1-X=A\left(1+r\right)^1-X.\dfrac{\left(1+r\right)^1-1}{r}\)

Cuối tháng thứ hai, số tiền nợ ngân hàng là: \(\left[A\left(1+r\right)^1-X\right].\left(1+r\right)=A\left(1+r\right)^2-X\left(1+r\right)\)

Trả tiếp X triệu nên số tiền nợ là: \(S_2=A\left(1+r\right)^2-X\left(1+r\right)-X=A.\left(1+r\right)^2-X.\dfrac{\left(1+r\right)^2-1}{r}\)

Theo quy luật trên, sau n tháng thì số tiền nợ ngân hàng là:

\(S_n=A.\left(1+r\right)^n-X.\dfrac{\left(1+r\right)^n-1}{r}\)

Do trả hết sau \(n=6\) tháng nên \(S_6=0\)

\(\Rightarrow200\left(1+1\%\right)^6-X.\dfrac{\left(1+1\%\right)^6-1}{1\%}=0\)

\(\Rightarrow X\approx34,51\) (triệu đồng)

Số tiền nhận được sau 10 năm là:

\(10tr.\left(1+5\%\right)^{10}=16288946\) (đồng)

\(log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+log_2\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow log_2\left[\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=16\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=16\)

\(\sqrt{x^2+1}=a-x\Rightarrow x^2+1=a^2-2ax+x^2\)

\(\Rightarrow2ax=a^2-1\Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{2a}\)

Tương tự \(\Rightarrow y=\dfrac{b^2-1}{2b}\)

\(P=x+y=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{32}\) (do \(ab=16\))

\(=\dfrac{15}{32}\left(a+b\right)\ge\dfrac{15}{32}.2\sqrt{ab}=\dfrac{15}{32}.2\sqrt{16}=\dfrac{15}{4}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{15}{4}=3,75\) (C đúng)

Nếu \(0< x+y< 1\)

Do \(0< x+y< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x< 1\\0< y< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2< x\\y^2< y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1>x+y>x^2+y^2\)

\(\Rightarrow log_{x+y}\left(x^2+y^2\right)>1\) (trái với giả thiết)

\(\Rightarrow x+y>1\)

Khi đó ta có: \(log_{x+y}\left(x^2+y^2\right)\le1\Leftrightarrow x+y\ge x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x+y\le2\)

Đặt \(x+y=a\Rightarrow1< a\le2\)

\(A=6a^2-14a+44=6a^2-14a+4+40=2\left(a-2\right)\left(3a-1\right)+40\)

Do \(1< a\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2\le0\\3a-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(3a-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow A\le40\)

\(A_{max}=40\) khi \(a=2\) hay \(x=y=1\)

\(\left(\sqrt{5}+2\right)^{x-1}=\left(\sqrt{5}-2\right)^{\dfrac{x-1}{x+1}}\)

=>\(\left(\sqrt{5}+2\right)^{x-1}=\left(\sqrt{5}+2\right)^{\dfrac{-x+1}{x+1}}\)

=>\(x-1=\dfrac{-x+1}{x+1}\)

=>\(\left(x-1\right)\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

3: \(log_2^2x-5\cdot log_2x=4=0\)

=>\(\left(log_2x-1\right)\left(log_2x-4\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}log_2x-1=0\\log_2x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x=1\\log_2x=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

6: \(2\cdot log^2x-logx-1=0\)

=>\(2\cdot log^2x-2logx+logx-1=0\)

=>\(\left(logx-1\right)\left(2logx+1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}logx=1\left(nhận\right)\\logx=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow logx=1\)

=>\(x=10\)

7: \(ln^2x+3lnx-4=0\)

=>\(\left(lnx+4\right)\left(lnx-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}lnx+4=0\\lnx-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}lnx=-4\\lnx=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=e^{-4}\\x=e^1=e\end{matrix}\right.\)

2:

4: