\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)

\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)

\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)

\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)

\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right)\)

\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(y^2-yz+z^2=y^2+\left(z-y\right)y\le y^2\Rightarrow\dfrac{1}{y^2-yz+z^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{z^2-xz+x^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}+\dfrac{1}{xy}\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2\left(x^2-xy+y^2\right)}}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{3}{xy}\ge\dfrac{12}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{12}{\left(x+y+z\right)^2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\) và hoán vị

 Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

 Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

 Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)

 Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

 Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

⎧​3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3)​

Lấy (2) cộng (3) ta được

�2+�2−��−��=2x2+y2−yz−zx=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

⇔[�=0�=−�⇔[x=0x=−z​

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Nhớ tick nha

$\{\begin{array}{c}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\ y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\ x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{array}$

Lấy (2) cộng (3) ta được

$x^2+y^2-yz-zx=2$ (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-z\end{array}$

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html

Bạn tham khảo ở đây nhé.

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x^2-|x|=|yz|\\ y^2-|y|=|xz|\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-y^2-(|x|-|y|)=|yz|-|zx|\)

\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|)-(|x|-|y|)=|z|(|y|-|x|)\)

\(\Leftrightarrow (|x|-|y|)(|x|+|y|-1+|z|)=0\)

Từ đây xét các TH:

TH1: \(|x|-|y|=0\Leftrightarrow |x|=|y|\)

Thay vào pt đầu tiên: \(x^2-|x|=|yz|=|xz|\)

\(\Leftrightarrow |x|(|x|-1-|z|)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} |x|=0\\ |x|-1-|z|=0\end{matrix}\right.\)

+) Với \(|x|=0\Rightarrow x=0\rightarrow y=0\).

Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=0\Leftrightarrow z=0; z=\pm 1\)

+) Với \(|x|-1-|z|=0\Leftrightarrow |y|=|x|=|z|+1\)

Thay vào PT(3): \(z^2-|z|=(|z|+1)^2=z^2+1+2|z|\)

\(\Leftrightarrow 1+3|z|=0\) (vô lý)

TH2: \(|x|+|y|+|z|=1\)

\(\Rightarrow |x|-1=-(|y|+|z|)\leq 0\)

Khi đó xét PT(1): \(|yz|=x^2-|x|=|x|(|x|-1)\) ta thấy:

VP luôn nhỏ hơn hoặc bằng $0$

Mà vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng $0$. Do đó để hai vế bằng nhau thì:

\(|yz|=|x|(|x|-1)=0\). Kết hợp với \(|x|+|y|+|z|=1\)

Từ đây ta dễ dàng thu được

\((x,y,z)=(0,0,\pm 1), (\pm 1, 0,0), (0,\pm 1, 0)\)