Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ta có: \(a+b+c=3\)  

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\left(a+b+c\right)}\)

\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{3^2}{2\cdot3}=\dfrac{3}{2}\)

__________________

Nhắc lại BĐT Cauchy - Schwarz:

\(\dfrac{x^2_1}{a_1}+\dfrac{x^2_2}{a_2}+\dfrac{x^2_3}{a_3}+...+\dfrac{x^2_n}{a_n}\ge\dfrac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^2}{a_1+a_2+...+a_n}\) 

(p/s: bạn xem lại để nhé !) 

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Nếu $m=-1$ thì BPT có nghiệm $x\in\mathbb{R}$

Nếu $m\neq -1$:

Bài toán tương đương với tìm $m$ để: 

$(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ có nghiệm 

Để làm điều này ta sẽ đi tìm $m$ để $(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ vô nghiệm 

$\Leftrightarrow (m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m>0(*)$ với mọi $x$

Dễ thấy $(*)$ xảy ra khi $m^3+1>0$ và $\Delta'=(m^2+m)^2-m(m^3+1)<0$

$\Leftrightarrow m>-1$ và $(m+1)m(2m-1)<0$

$\Leftrightarrow m>-1$ và $m(2m-1)<0$ 

$\Leftrightarrow m>-1$ và $0< m< \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 0< m< \frac{1}{2}$

Suy ra để $(m^3+1)x^2-2(m^2+m)x+m\leq 0$ có nghiệm thì $m\leq 0$ hoặc $m\geq \frac{1}{2}$

Kết hợp với $m=-1$ ở đầu vào thì $m\leq 0$ hoặc $m\geq \frac{1}{2}$

Đáp án B.

Có:

\(3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\Leftrightarrow x=m+2.hoặc.x=\dfrac{4-m}{3}\)

+) Với \(m+2>\dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow3m+6>4-m\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình bất phương trình  \(\Leftrightarrow\dfrac{4-m}{3}\le x\le m+2\) 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge\dfrac{4-m}{3}\\1\le m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge7\\m\ge-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge7\left(kết.hợp.đk:m>-\dfrac{1}{2}.thỏa.mãn\right)\)

+) Với \(m+2< \dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình

\(\Leftrightarrow m+2\le x\le\dfrac{4-m}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[m+2;\dfrac{4-m}{3}\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[m+2;\dfrac{4-m}{3}\right]\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge m+2\\1\le\dfrac{4-m}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-3\\m\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\le-3\left(thỏa.mãn.đk:m< -\dfrac{1}{2}\right)\)

+) Với \(m=-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\) nên \(m=-\dfrac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m\in\) (\(-\infty\); -3] \(\cup\) [7; \(+\infty\)) là giá trị cần tìm

Có:

\(3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\Leftrightarrow x=m+2.hoặc.x=\dfrac{4-m}{3}\)

+) Với \(m+2>\dfrac{4-m}{3}\Leftrightarrow3m+6>4-m\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}\) ta có bất phương trình bất phương trình  \(\Leftrightarrow\dfrac{4-m}{3}\le x\le m+2\) 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\)

=> mọi x \(\in\left[-1;1\right]\) đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi 

\(\left[-1;1\right]\subset\left[\dfrac{4-m}{3};m+2\right]\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\ge\dfrac{4-m}{3}\\1\le m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge7\\m\ge-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge7\left(kết.hợp.đk:m>-\dfrac{1}{2}.thỏa.mãn\right)\)