Bài 3: Lôgarit

$\log^2_3x=(\log_3x)^2$ bạn nhé.

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log\left(x+1\right)^2>log2x\Rightarrow\left(x+1\right)^2>2x\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1>2x\)

\(\Leftrightarrow x^2+1>0\) (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của BPT là: \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow\)a; b là các đáp án đúng.

c sai do đỉnh của của \(y=x^2+2\) là \(\left(0;2\right)\)

d sai do \(b=+\infty\) nên \(a+3b=+\infty\)

Ủa mà đề là \(log_x^2\) của cái gì nhỉ? \(log_x^2y\) đúng ko?

Do x;y \(>1\Rightarrow log_xy>0\)

Đặt \(log_xy=a>0\Rightarrow log_x^2y+16log_yx=a^2+\dfrac{16}{a}=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64a^2}{a^2}}=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=\dfrac{8}{a}\Rightarrow a=2\) hay \(log_xy=2\)

\(S=log_x\sqrt{x}+log_x\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}log_xx+\dfrac{1}{2}log_xy=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.2=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=16\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=16\)

\(\sqrt{x^2+1}=a-x\Rightarrow x^2+1=a^2-2ax+x^2\)

\(\Rightarrow2ax=a^2-1\Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{2a}\)

Tương tự: \(y=\dfrac{b^2-1}{2b}\)

\(\Rightarrow P=x+y=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a+b}{2}-\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{2ab}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{32}=\dfrac{15}{32}\left(a+b\right)\ge\dfrac{15}{32}.2\sqrt{ab}=\dfrac{15}{4}\)

\(P_{min}=\dfrac{15}{4}\)

Bài này thực chất phải chia 2 TH (\(x^2+3y^2< 1\) và \(x^2+3y^2>1\)) nhưng như thế thì quá phức tạp nên ta đơn giản hóa nó đi:

\(x^2+3y^2=4x+y+\dfrac{5}{4}\Rightarrow\left(x-2\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{6}\right)^2=\dfrac{16}{3}\)

\(\Rightarrow4x+y=4\left(x-2\right)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}\left(y-\dfrac{1}{6}\right)+\dfrac{49}{6}\)

\(\le\sqrt{\left(4^2+\dfrac{1}{3}\right)\left[\left(x-2\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{6}\right)^2\right]}+\dfrac{49}{6}=\dfrac{35}{2}\)

Lời giải:

Đặt $2^x=t$ thì pt trở thành:

$t^2-2mt+2m=0(*)$

Ta cần tìm $m$ để pt $(*)$ có hai nghiệm $t>0$ phân biệt thỏa mãn $t_1t_2=4$

$(*)$ có 2 nghiệm thì:

$\Delta'=m^2-2m>0\Leftrightarrow m(m-2)>0\Leftrightarrow m>2$ hoặc $m<0$ (1)

Áp dụng định lý Viet, để $(*)$ có 2 nghiệm dương thỏa mãn tích 2 nghiệm bằng 4 thì:

\(\left\{\begin{matrix} S=t_1+t_2>0\\ P=t_1t_2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>0\\ 2m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\) (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow$ không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn

Đặt \(t=log_3x\).

Phương trình ban đầu trở thành: \(t^2-mt+2m-7=0\) (*)

\(t_1+t_2=log_3\left(x_1x_2\right)=log_381=4\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thoả \(x_1x_2=81\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm \(t_1,t_2\) thoả \(t_1+t_2=4\):

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\left(2m-7\right)\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\dfrac{4}{x}}=\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(\Rightarrow x-\dfrac{4}{x}=2\)

\(\Rightarrow x^2-2x-4=0\)

Viet: \(x_1+x_2=2\)

1.

\(A=3log_{2^2}\sqrt{a}-log_{2^{-1}}a^2+2log_{a^{\dfrac{1}{2}}}a\)

\(=3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}log_2a-\left(-1\right).2.log_2a+2.2.log_2a\)

\(=\dfrac{27}{4}log_2a\)

2.

\(log_{12}36=\dfrac{log_236}{log_212}=\dfrac{log_2\left(3^2.2^2\right)}{log_2\left(3.2^2\right)}=\dfrac{log_23^2+log_22^2}{log_23+log_22^2}\)

\(=\dfrac{2.log_23+2}{log_23+2}=\dfrac{2a+2}{a+2}\)

\(log_x\left(x^2y^3\right)=log_xx^2+log_xy^3=2+3log_xy\)

\(\Rightarrow2+3log_xy=1\Rightarrow log_xy=-\dfrac{1}{3}\)

\(N=\dfrac{log_x\left(x^2y^3\right)}{log_x\left(\dfrac{\sqrt[5]{x^3y^2}}{xy^3}\right)}=\dfrac{1}{log_x\left(\sqrt[5]{x^3y^2}\right)-log_xxy^3}=\dfrac{1}{log_x\sqrt[5]{x^3}+log_x\sqrt[5]{y^2}-\left(log_xx+log_xy^3\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}log_xy-\left(1+3log_xy\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}.\left(-\dfrac{1}{3}\right)-1-3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{15}{7}\)