Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1: ĐKXĐ: \(x>-\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{x}{\sqrt{2x+3}}=\dfrac{11}{5}\)

=>\(5x=11\sqrt{2x+3}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\25x^2=121\left(2x+3\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\25x^2-242x-363=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\25x^2-275x+33x-363=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left(x-11\right)\left(25x+33\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left[{}\begin{matrix}x=11\\x=-\dfrac{33}{25}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>x=11

2: ĐKXĐ: y>=-1

\(\sqrt{y+1}=-\dfrac{2}{5}\)

mà \(\sqrt{y+1}>=0\forall y>=-1\)

nên \(y\in\varnothing\)

Gọi thời gian đội A làm một mình hoàn thành công việc là: `x` (ngày) 

      thời gian đội B làm một mình hoàn thành công việc là: `y` (ngày) 

ĐK: \(x,y>0\)

Một ngày đội A làm được: `1/x` (công việc)

Một ngày đội B làm được: `1/y` (công việc) 

Hai đội làm cchung thì 12 ngày hoàn thành công việc nên ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\) 

Sau khi cải tiến thì mỗi ngày đội B làm được `2/y` (công việc) 

Khi làm chung 8 giờ thì đội A làm việc khác và đội B được cải tiến kĩ thuật nên hoàn thành công việc sau 8 giờ tiếp theo ta có pt:

\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8\cdot2}{y}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{8}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hpt:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=24\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy: ...

Bài 2:

a: \(x^2-4x+1=0\)

=>\(x^2-4x+4-3=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2-3=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2=3\)

=>\(x-2=\pm\sqrt{3}\)

=>\(x=2\pm\sqrt{3}\)

b: \(x^2-\sqrt{5}\cdot x-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(-\sqrt{5}\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-5\right)=5+20=25>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{2}\\x_2=\dfrac{\sqrt{5}+5}{2}\end{matrix}\right.\)

c: \(x^2-2\sqrt{5}\cdot x+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\sqrt{5}\right)^2-4\cdot1\cdot1=20-4=16>0\)

Do đó; Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-2\sqrt{5}\right)-4}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-4}{2}=\sqrt{5}-2\\x_2=\sqrt{5}+2\end{matrix}\right.\)

d: \(2x^2-2\sqrt{3}\cdot x-\dfrac{1}{2}=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=12+4=16>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\sqrt{3}-4}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\x_2=\dfrac{2\sqrt{3}+4}{4}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

1: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=6x-5\)

=>\(x^2-6x+5=0\)

=>(x-1)(x-5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 vào y=6x-5, ta được:

\(y=6\cdot1-5=1\)

Thay x=5 vào y=6x-5, ta được:

\(y=6\cdot5-5=25\)

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(1;1); B(5;25)

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-x+6\)

=>\(x^2+x-6=0\)

=>(x+3)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=-3 vào y=-x+6, ta được:

y=-(-3)+6=9

Thay x=2 vào y=-x+6, ta được:

y=-2+6=4

Vậy: Tọa độ giao điểm là C(-3;9); B(2;4)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m-1}{2}\ne\dfrac{-m}{-1}=m\)

=>\(2m\ne m-1\)

=>\(m\ne-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2x-y=m+5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\left(-m-1\right)=-m^2-2m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\left(m+1\right)-m-5=2m+2-m-5=m-3\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(P=x^2+y^2\)

\(=\left(m+1\right)^2+\left(m-3\right)^2\)

\(=2m^2-4m+10\)

\(=2m^2-4m+2+8\)

\(=2\left(m-1\right)^2+8>=8\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=1(nhận)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(y+1\right)-xy=7\\\left(x+2\right)\left(y-1\right)=5+xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x-2y-2-xy=7\\xy-x+2y-2=5+xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y=9\\-x+2y=7\end{matrix}\right.\)

Cộng vế \(\Rightarrow0=16\) (vô lý)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

b. 

ĐKXĐ: \(x\ne1;y\ne-2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-1}=u\\\dfrac{1}{y+2}=v\end{matrix}\right.\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}u+3v=34\\u-2v=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5v=25\\u=2v+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=5\\u=19\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-1}=19\\\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{1}{19}\\y+2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{20}{19}\\y=-\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\)

c.

ĐKXĐ: \(x\ne\pm y\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=u\\\dfrac{1}{x-y}=v\end{matrix}\right.\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2u+7v=30\\3u+7v=31\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=1\\v=\dfrac{30-2u}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=1\\v=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=1\\\dfrac{1}{x-y}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{8}\\y=\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\)

Gọi thời gian chảy 1 mình đầy bể của vòi thứ nhất là x giờ, vòi thứ hai là y giờ (x;y>0)

Trong1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) phần bể, vòi thứ 2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\) phần bể

Trong 1 giờ cả 2 vòi cùng chảy được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) phần bể

Do 2 vòi cùng chảy trong 12 giờ thì đầy bể nên ta có pt:

\(12\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (1)

Vòi 1 chảy 1 mình trong 5 giờ được: \(5.\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{x}\) phần bể

Vòi 2 chảy 1 mình trong 15 giờ được: \(\dfrac{15}{y}\) phần bể

Do vòi thứ nhất chảy 1 mình 5 giờ, khóa lại, rồi vòi 2 chảy 1 mình 15 giờ được \(75\%=\dfrac{3}{4}\) phần bể nên ta có pt:

\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{15}{y}=\dfrac{3}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{5}{x}+\dfrac{15}{y}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{20}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{30}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=30\end{matrix}\right.\)

Gọi số bộ quần áo tổ A sản xuất trong tuần đầu là x (bộ) và tổ B là y (bộ) với x;y nguyên dương

Do tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ nên ta có pt:

\(x+y=1500\) (1)

Sang tuần 2 tổ A vượt mức 25% nên tổ A sản xuất được:

\(x+x.25\%=\dfrac{5x}{4}\) (bộ)

Tuần 2 tổ B giảm mức 18% nên tổ B sản xuất được:

\(y-y.18\%=\dfrac{41}{50}y\) (bộ)

Ở tuần 2 cả 2 tổ sản xuất được 1617 bộ nên ta có pt:

\(\dfrac{5x}{4}+\dfrac{41y}{50}=1617\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1500\\\dfrac{5x}{4}+\dfrac{41y}{50}=1617\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=900\\y=600\end{matrix}\right.\)

Bài 2: 

a) Khi m = 2 ta có pt:

\(x^2-4x+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3=4>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3\\x_2=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1\end{matrix}\right.\) 

b) Để pt có nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow16-4m-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+12\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m\le12\)

\(\Leftrightarrow m\le3\) 

c) \(x^2-4x+m+1=0\) 

\(\Delta=\left(-4\right)^2+4\cdot1\cdot\left(m+1\right)=12-4m\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì m < 3 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{4+\sqrt{12-4m}}{2}=2+\sqrt{3-m}\\x_2=\dfrac{4-\sqrt{12-4m}}{2}=2-\sqrt{3-m}\end{matrix}\right.\) 

Mà: \(x^2_1+x^2_2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3-m}\right)^2+\left(2-\sqrt{3-m}\right)^2=10\)

\(\Leftrightarrow4+4\sqrt{3-m}+3-m+4-4\sqrt{3-m}+3-m=10\)

\(\Leftrightarrow14-2m=10\)

\(\Leftrightarrow2m=4\)

\(\Leftrightarrow m=2\left(tm\right)\) 

d) Ta có: \(x^3_1+x^3_2=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3-m}\right)^2+\left(2-\sqrt{3-m}\right)^2=34\)

\(\Leftrightarrow8+12\sqrt{3-m}+6\left(3-m\right)+\left(3-m\right)\sqrt{3-m}+8-12\sqrt{3-m}+6\left(3-m\right)-\left(3-m\right)\sqrt{3-m}=34\)

\(\Leftrightarrow16+12\left(3-m\right)=34\)

\(\Leftrightarrow2\left(3-m\right)=18\)

\(\Leftrightarrow3-m=9\)

\(\Leftrightarrow m=-6\left(tm\right)\) 

Bài 1:

a: \(x^2-11x+30=0\)

=>\(x^2-5x-6x+30=0\)

=>\(x\left(x-5\right)-6\left(x-5\right)=0\)

=>(x-5)(x-6)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=6\end{matrix}\right.\)

b: \(x^2-10x+21=0\)

=>\(x^2-3x-7x+21=0\)

=>\(x\left(x-3\right)-7\left(x-3\right)=0\)

=>\(\left(x-3\right)\left(x-7\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=7\end{matrix}\right.\)

c: \(x^2-12x+27=0\)

=>\(x^2-3x-9x+27=0\)

=>\(x\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)=0\)

=>\(\left(x-3\right)\left(x-9\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=9\end{matrix}\right.\)

d: \(5x^2-17x+12=0\)

=>\(5x^2-5x-12x+12=0\)

=>\(5x\left(x-1\right)-12\left(x-1\right)=0\)

=>(x-1)(5x-12)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\5x-12=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{12}{5}\end{matrix}\right.\)

e: \(3x^2-19x-22=0\)

=>\(3x^2-22x+3x-22=0\)

=>\(x\left(3x-22\right)+\left(3x-22\right)=0\)

=>(3x-22)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x-22=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{22}{3}\\x=-1\end{matrix}\right.\)

f: \(x^2-14x+33=0\)

=>\(x^2-3x-11x+33=0\)

=>\(x\left(x-3\right)-11\left(x-3\right)=0\)

=>(x-3)(x-11)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-11=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=11\end{matrix}\right.\)

g: \(6x^2-13x-48=0\)

\(\text{Δ}=\left(-13\right)^2-4\cdot6\cdot\left(-48\right)=1321\)

Vì Δ>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{13-\sqrt{1321}}{12}\\x_2=\dfrac{13+\sqrt{1321}}{12}\end{matrix}\right.\)

h: \(3x^2+5x+61=0\)

\(\text{Δ}=5^2-4\cdot3\cdot61=25-732=-707< 0\)

=>phương trình vô nghiệm

i: \(x^2-\sqrt{3}x-2-\sqrt{6}=0\)

=>\(\left(x^2-2\right)-\sqrt{3}\left(x+\sqrt{2}\right)=0\)

=>\(\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)-\sqrt{3}\left(x+\sqrt{2}\right)=0\)

=>\(\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+\sqrt{2}=0\\x-\sqrt{2}-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{2}\\x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Ai giúp mình với ạ

Hệ tương đương: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-\sqrt{xy}=3\\x+1+y+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=\sqrt{xy}\\x+y+2\sqrt{x+y+xy+1}=14\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-3=\sqrt{b}\\2\sqrt{a+b+1}=14-a\end{matrix}\right.\) (với \(3\le a\le14\))

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-6a+9=b\\4\left(a+b+1\right)=a^2-28a+196\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\left(a+a^2-6a+9+1\right)=a^2-28a+196\)

\(\Leftrightarrow3a^2+8a-156=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=6\Rightarrow b=9\\a=-\dfrac{26}{3}< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=3\)

Lời giải:

Đặt $\frac{1}{x+y}=a; \frac{1}{y-x}=b$ thì hệ trở thành:

$3a+2b=8$

$a-3b=-1$

$\Rightarrow 3a+2b-3(a-3b)=8-3(-1)$

$\Leftrightarrow 11b=11$

$\Leftrightarrow b=1$

$a=-1+3b=-1+3.1=2$

Vậy: $\frac{1}{x+y}=a=2\Rightarrow x+y=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{y-x}=b=1\Rightarrow y-x=1$

$\Rightarrow y=(\frac{1}{2}+1):2=\frac{3}{4}; x=(\frac{1}{2}-1):2=\frac{-1}{4}$