§4. Hyperbol (Nâng cao)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\) và điểm \(M\left(-5;2\right)\in\left(H\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M.

1. \(x-2y+8=0\)
2. \(x+2y-8=0\)
3. \(2x-y-8=0\)
4. \(2x+y+8=0\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai trục đối xứng là Ox, Oy, qua điểm M(-4;3) và tiếp xúc với đường thẳng \(3x-2y+6=0\). 

1. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1\)
2. \(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1\)
3. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)
4. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1\).  Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng \(3x-4y+7=0\).

1. \(3x-4y+5=0;3x-4y-5=0\)
2. \(3x-4y+15=0;3x-4y-15=0\)
3. \(3x-4y+10=0;3x-4y-10=0\)
4. \(3x-4y+9=0;3x-4y-9=0\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) và điểm \(M\left(2\sqrt{3};-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)\in\left(H\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M.

1. \(3x+8y-12\sqrt{3}=0\)
2. \(3x-8y+12\sqrt{3}=0\)
3. \(8x+3y-12\sqrt{3}=0\)
4. \(8x-3y+12\sqrt{3}=0\)

Cho họ đường thẳng \(\left(\Delta\varphi\right):x.\cos\varphi+y.\sin\varphi-\sqrt{4\cos2\varphi+1}=0\) với \(\varphi\) là tham số. Khi \(\varphi\) thay đổi, \(\left(\Delta\varphi\right)\) luôn tiếp xúc với một hyperbol cố định. Viết phương trình chính tắc hypebol đó.

1. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)
2. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
3. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{3}=1\)
4. \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1\)

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có tâm sai \(e=3\) và điểm F(-6;0) là một tiêu điểm.

1. \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1\)
2. \(\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1\)
3. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1\)
4. \(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{4}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\). Các tiếp tuyến với (H) xuất phát từ điểm A(1;4) là :

1. \(x=1;5x-2y+3=0\)
2. \(x=1;5x+2y+3=0\)
3. \(x=1;2x-5y+3=0\)
4. \(x=1;2x+5y+3=0\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai trục đối xứng Ox,Oy và đi qua hai điểm \(A\left(2\sqrt{5};-\frac{3}{2}\right)\) và \(B\left(-4\sqrt{2};3\right)\). 

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
2. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)
4. \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) và điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(H\right)\). Biểu thức \(T=MO^2-F_1M.F_2M\) có giá trị không đổi . Tính giá trị không đổi đó.

1. 25
2. -25
3. 7
4. -7

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có một đường chuẩn là \(x=\frac{10}{3}\) , đi qua điểm \(A\left(6;\frac{8}{\sqrt{5}}\right)\) và có nửa tiêu cự \(c\le6\) .

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)
2. \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1\).  Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) vuông góc với đường thẳng \(2x+3y-4=0\).

1. \(3x-2y-4=0;3x-2y+4=0\)
2. \(3x-2y-6=0;3x-2y+6=0\)
3. \(3x-2y+8=0;3x-2y-8=0\)
4. \(3x-2y-10=0;3x-2y+10=0\)

Cho hyperbol (H) : \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) và điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(H\right)\). Tiếp tuyến tại M của (H) cắt hai đường tiệm cận của (H) tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB .

1. \(a^2+b^2\)
2. \(a^2.b^2\)
3. \(a.b\)
4. \(a+b\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai trục đối xứng là Ox, Oy, có đường chuẩn là \(3x\pm4=0\) và (H) qua \(M\left(3;\frac{5}{2}\right)\), biết rằng nửa tiêu cự của (H) nhỏ hơn 5 .

1. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)
2. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
3. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1\)
4. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{9}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=-1\) và tiếp điểm A(-1;1). Từ A có thể kẻ đến (H) hai tiếp tuyến phân biệt với các tiếp điểm là \(T_1,T_2\). Tính khoảng cách từ đểm A đến đường thẳng \(T_1T_2\) .

1. \(\sqrt{2}\)
2. \(\sqrt{3}\)
3. 2
4. \(\sqrt{5}\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có tâm O, một tiêu điểm là (0;5) và đi qua \(N\left(-2;\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)\)

1. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1\)
2. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
3. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1\)
4. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)

Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm  A(1; 4) tới hyperbol (H) : \(\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{16}=1\) 

1. \(x-y+3=0\)
2. \(x-y-3=0\) và \(3x+4y-16=0\)
3. \(x-y+3=0\) và \(4x-3y+16=0\)
4. \(4x+3y-16=0\)

Viết phương trình chính tắc hyperbpl (H) có đường chuẩn \(x=2\) và F(3;0) là một tiêu điểm.

1. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{6}=1\)
2. \(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1\)
3. \(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{9}=1\)
4. \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1\)

Cho điểm \(A\left(\sqrt{5};-\frac{1}{2}\right)\) thuộc hyperbol (H) có phương trình \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại  điểm A .

1. \(\sqrt{5}x+2y-4=0\)
2. \(\sqrt{5}x-2y+4=0\)
3. \(2x+\sqrt{5}y-4=0\)
4. \(2x+\sqrt{5}y+4=0\)

Cho hypebol (H) có phương trình \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Độ dài trục ảo bằng 8
2. Tâm sai \(e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
3. Tiêu cự bằng \(2\sqrt{41}\)
4. Hệ số góc của hai tiệm cận là \(k=\pm\frac{4}{5}\)

Cho đường thẳng \(\left(d_1\right)\) : \(2x+y-5=0\) và hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{17}=1\). Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) tạo với (d) 1 góc \(45^0\).

1. \(x-3y+8=0\) và \(x-3y-8=0\)
2. \(x+3y+8=0\) và  \(x+3y-8=0\)
3. \(3x-y+8=0\) và \(3x-y-8=0\)
4. \(3x+y+8=0\) và \(3x+y-8=0\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai trục đối xứng Ox, Oy, hai tiệm cận:  \(2x+y=0;2x-y=0\) và qua điểm \(A\left(\sqrt{2};-2\right)\). 

1. \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)
2. \(x^2-4y^2=1\)
3. \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
4. \(4x^2-y^2=1\)

Tìm tọa độ các giao điểm của hyperbol (H) : \(\dfrac{x^2}{20}-\dfrac{y^2}{5}=1\) với đường thẳng (d) : \(2x-y-10=0\).

1. \(\left(6;2\right),\left(\dfrac{14}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)
2. \(\left(-6;2\right),\left(-\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
3. \(\left(6;-2\right),\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
4. \(\left(-6;-2\right),\left(-\dfrac{14}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)

Viết phương trình hypebol (H) đi qua điểm \(A\left(\frac{3}{\sqrt{5}};-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và A nhìn hai tiêu điểm \(F_1;F_2\)  trên trục Ox dưới một góc vuông. 

1. \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
2. \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)
3. \(4x^2-y^2=1\)
4. \(x^2-4y^2=1\)

Ho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\). Tích số các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến một tiếp tuyến bất kỳ của (H) có giá trị  không đổi. Tính giá trị không đổi này.

1. 20
2. 16
3. 4
4. 36

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\). Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng \(3x+5y-1=0\).

1. \(3x+5y+4=0;3x+5y-4=0\)
2. \(3x+5y+2=0;3x+5y-2=0\)
3. \(3x+5y+3=0;3x+5y-3=0\)
4. (H) không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng \(3x+5y-1=0\)

Cho hypebol (H) có phương trình \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây sai ?

1. (H) có trục thực bằng 8
2. (H) có tiêu điểm \(F_1\left(-5;0\right);F_2\left(5;0\right)\)
3. (H) có hai tiệm cận \(4x+3y=0\&4x-3y=0\)
4. (H) có hai đường chuẩn là \(x=\frac{16}{5}\&x=-\frac{16}{5}\)

Viết phương trình chính tắc hypebol (H) có hai trục Ox, Oy, tâm sai \(e=\sqrt{3}\), trục hoành là trục thực  và đi qua điểm \(M\left(-5;3\sqrt{2}\right)\).

1. \(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{16}=1\)
2. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{32}=1\)
3. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{8}=1\)
4. \(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}=1\)

Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) nằm trên Ox và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O; các bán kính qua tiêu đối với điểm \(M\in\left(H\right)\)  với hoành độ \(-5\)  là  \(F_1M=\dfrac{9}{4},F_2M=\dfrac{41}{4}\).

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
2. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)
4. \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(5x^2-y^2-4=0\). Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) có hệ số góc bằng \(\frac{5}{2}\).

1. \(5x-2y+1=0;5x-2y-1=0\)
2. \(5x-2y+2=0;5x-2y-2=0\)
3. \(5x-2y+3=0;5x-2y-3=0\)
4. \(5x-2y+4=0;5x-2y-4=0\)

Trên đường cong \(y=\sqrt{x^2+9}\) tồn tại một điểm M mà khoảng cách từ M đến đường thẳng  \(4x-5y-32=0\) ngắn nhất. Tìm tọa độ điểm M đó.

1.  (4;5)
2. \(\left(\sqrt{7};4\right)\)
3.  (-4;-5)
4.  \(\left(-\sqrt{7};4\right)\)