Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) và điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(H\right)\). Biểu thức \(T=MO^2-F_1M.F_2M\) có giá trị không đổi . Tính giá trị không đổi đó.
25 -25 7 -7 Hướng dẫn giải:(H): \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) suy ra \(a^2=16,b^2=9,c^2=25,a=4,b=3,c=5\) . Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có
\(F_1M=\left|\dfrac{5}{4}x_0+4\right|,F_2M=\left|\dfrac{5}{4}x_0-4\right|\Rightarrow F_1M.F_2M=\left|\dfrac{25x_0^2}{16}-16\right|\)
Mà \(M\left(x_0;y_0\right)\in\)(H) nên \(\dfrac{x_0^2}{16}-\dfrac{y_0^2}{9}=1\Rightarrow\dfrac{x_0^2}{16}>1\Rightarrow\dfrac{25x_0^2}{16}>16\) , do đó \(FF_1M.F_2M=\dfrac{25x_0^2}{16}-16\) (1)
Lại có \(OM^2=x_0^2+y_0^2=x_0^2+9.\dfrac{y_0^2}{9}=x_0^2+9\left(\dfrac{x_0^2}{16}-1\right)=\dfrac{25}{16}x_0^2-9\) (2)
Trừ theo vế (2) và (1) ta được \(T=7\).
Đáp số: 7.
