Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) nằm trên Ox và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O; các bán kính qua tiêu đối với điểm \(M\in\left(H\right)\) với hoành độ \(-5\) là \(F_1M=\dfrac{9}{4},F_2M=\dfrac{41}{4}\).
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\) \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải:Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) , hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)\) trong đó \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Theo giả thiết, điểm M thuộc (H) và có hoành độ \(x_M=-5\) nên M ở bên trái trục tung và áp dụng công thức bán kính qua tiêu và giả thiết ta được \(F_1M=-\dfrac{c}{a}.x_M-a=\dfrac{5c}{a}-a=\dfrac{9}{4}\) và \(F_2M=-\dfrac{c}{a}.x_M+a=\dfrac{5c}{a}+a=\dfrac{41}{4}\). Từ đó \(2a=\dfrac{41}{4}-\dfrac{9}{4}\) , \(a=4\).
Thế trở lại hai phương trình trên ta được \(\dfrac{5c}{a}-a=\dfrac{9}{4}\Rightarrow\dfrac{5c}{4}-4=\dfrac{9}{4}\Rightarrow c=5\). Mà \(b^2=c^2-a^2=5^2-4^2=3^2\). Do đó phương trình chính tắc của (H) là \(\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=1\) hay \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\).
