§3. Phương trình elip

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định \(F_1,F_2\) và một độ dài không đổi \(2a\) lớn hơn \(F_1F_2\). Elip là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho 

                     \(F_1M+F_2M=2a\)

Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài \(F_1F_2=2c\) gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip \(\left(E\right)\) có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\). Điểm \(M\) thuộc elip khi và chỉ khi \(F_1M+F_2M=2a\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho \(F_1=\left(-c;0\right)\), \(F_2=\left(c;0\right)\).

Khi đó người ta chứng minh được:

            \(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)       (1)

trong đó \(b^2=a^2-c^2\).

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

3. Hình dạng của elip

Xét elip \(\left(E\right)\) có phương trình (1):

a) Nếu điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc \(\left(E\right)\) thì các điểm \(M_1\left(-x;y\right)\), \(M_2\left(x;-y\right)\) và \(M_3\left(-x;-y\right)\) cũng thuộc \(\left(E\right)\).

Vậy \(\left(E\right)\) có các trục đối xứng là \(Ox,Oy\) và có tâm đối xứng là gốc \(O\).

b) Thay \(y=0\) vào (1) ta có \(x=\pm a\), suy ra \(\left(E\right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(A_1\left(-a;0\right)\) và \(A_2\left(a;0\right)\). Tương tự thay \(x=0\) vào (1) ta được \(y=\pm b\), vậy \(\left(E\right)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm \(B_1\left(0;-b\right)\) và \(B_2\left(0;b\right)\).

Các điểm \(A_1,A_2,B_1,B_2\) gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1B_2\) gọi là trục nhỏ của elip.

Ví dụ 1: Elip \(\left(E_1\right)\): \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{1}=1\) có: 

     +) Các đỉnh là \(A_1\left(-3;0\right)\), \(A_2\left(3;0\right)\), \(B_1\left(0;-1\right)\), \(B_2\left(0;1\right)\)

     +) \(A_1A_2=6\) là trục lớn, \(B_1B_2=2\) là trục nhỏ.

Ví dụ 2: Cho elip \(\left(E_2\right)\): \(4x^2+9y^2=1\). Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tiêu cự và độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip.

Giải:

Ta có \(4x^2+9y^2=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{9}}=1\)

Vậy ta có thể viết lại phương trình elip \(\left(E_2\right)\) : \(\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{9}}=1\)

Từ đó ta có: 

       +) \(a^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\) nên độ dài trục lớn là \(2a=1\)

       +) \(b^2=\dfrac{1}{9}\Rightarrow b=\dfrac{1}{3}\) nên độ dài trục bé là \(2a=\dfrac{2}{3}\)

       +) \(c^2=a^2-b^2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{36}\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt{5}}{6}\) nên tiêu cự là \(2c=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

       +) Suy ra hai tiêu điểm của elip là \(F_1\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{6};0\right)\) và \(F_2\left(\dfrac{\sqrt{5}}{6};0\right)\)

       +) Toạ độ các đỉnh là \(A_1\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\), \(A_2\left(\dfrac{1}{2};0\right)\), \(B_1\left(0;-\dfrac{1}{3}\right)\), \(B_2\left(0;\dfrac{1}{3}\right)\)

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của elip \(\left(E\right)\) có một tiêu điểm là \(F_1\left(-\sqrt{3};0\right)\) và đi qua điểm \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Giải:

Ta có \(F_1\left(-\sqrt{3};0\right)\) là một tiêu điểm của elip. Suy ra \(c=\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a^2=b^2+c^2=b^2+3\)

Có \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\in\left(E\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{4b^2}=1\)

Thay \(a^2=b^2+3\) ta được:

      \(\dfrac{1}{b^2+3}+\dfrac{3}{4b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{4b^2+3\left(b^2+3\right)}{4b^2\left(b^2+3\right)}=1\)

 \(\Leftrightarrow\dfrac{7b^2+9}{4b^4+12b^2}=1\Leftrightarrow7b^2+9=4b^4+12b^2\)

 \(\Leftrightarrow4b^4+5b^2-9=0\)

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b^2=1\\b^2=-\dfrac{9}{4}\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(b^2=1\Rightarrow a^2=4\)

Vậy phương trình chính tắc của elip \(\left(E\right)\) là \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\).

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

a) Từ hệ thức \(b^2=a^2-c^2\) ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì \(b\) càng gần \(a\), tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

b) Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left(C\right)\) có phương trình \(x^2+y^2=a^2\)

Với mỗi điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn ta xét điểm \(M'\left(x';y'\right)\) sao cho

               \(\left\{{}\begin{matrix}x'=x\\y'=\dfrac{b}{a}y\end{matrix}\right.\)     (với \(0< b< a\))

thì tập hợp các điểm \(M'\) có toạ độ thoả mãn phương trình \(\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}=1\) là một elip \(\left(E\right)\).

Khi đó ta nói đường tròn \(\left(C\right)\) được co thành elip \(\left(E\right)\).