Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=-1\) và tiếp điểm A(-1;1). Từ A có thể kẻ đến (H) hai tiếp tuyến phân biệt với các tiếp điểm là \(T_1,T_2\). Tính khoảng cách từ đểm A đến đường thẳng \(T_1T_2\) .
\(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\) 2 \(\sqrt{5}\) Hướng dẫn giải:Phương trình tiếp tuyến tổng quát của (H) là \(\dfrac{x_0x}{2}-\dfrac{y_0y}{4}=-1\Leftrightarrow2x_0x-y_0y+4=0\), trong đó \(\left(x_0;y_0\right)\)là tọa độ tiếp điểm.
Tiếp tuyến này sẽ qua điểm A(-1;1) khi và chỉ khi \(2x_0.\left(-1\right)-y_0.1+4=0\Leftrightarrow2x_0+y_0-4=0\). Như vậy các tiếp tuyến kẻ qua A(-1;1) tới (H) đều có tiếp điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình \(2x+y-4=0\), nói cách khác, phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \(2x+y-4=0\). Khoảng cách từ điểm A(-1;1) tới đường thẳng \(T_1T_2\) là \(\dfrac{\left|2.\left(-1\right)+1-4\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) .
Đáp số: \(\sqrt{5}\).
