Cho hyperbol (H) : \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\). Các tiếp tuyến với (H) xuất phát từ điểm A(1;4) là :
\(x=1;5x-2y+3=0\) \(x=1;5x+2y+3=0\) \(x=1;2x-5y+3=0\) \(x=1;2x+5y+3=0\) Hướng dẫn giải:Trong các phương án trả lời đều có đường thẳng \(x=1\) mà một trong các phương án trả lời phải có một phương án đúng vì vậy chắc chắn \(x=1\) là một tiếp tuyến qua điểm A(1;4) đã cho (có thể kiểm chứng điều này nhưng trong phòng thi học sinh không phải làm).
Xét một tiếp tuyến khác cũng qua điểm A(1;4), tức là xét một tiếp tuyến không song song với Oy. Gọi \(k\) là hệ số góc của nó thì tiếp tuyến có phương trình \(y=k\left(x-1\right)+4\Leftrightarrow kx-y+\left(4-k\right)=0\) . Đường thẳng này tiếp xúc với (H): \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\) nên
\(k^2.1-\left(-1\right)^2.4=\left(4-k\right)^2\Leftrightarrow8k=20\Leftrightarrow k=\dfrac{5}{2}\). Tiếp tuyến còn lại có phương trình \(\dfrac{5}{2}x-y+\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow5x-2y+3=0\).
Đáp số: \(x=1;5x-2y+3=0\).
