§4. Hyperbol (Nâng cao)

Trên hyperbol (H) : \(x^2-\frac{y^2}{4}=-1\) có 4 điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) tạo với trục hoành góc \(60^0\). Tìm tọa độ 4 điểm đó .

1. \(\left(\sqrt{3};4\right);\left(\sqrt{3};-4\right);\left(-\sqrt{3};4\right);\left(-\sqrt{3};-4\right)\)
2. \(\left(4;\sqrt{3}\right);\left(4;-\sqrt{3}\right);\left(-4;\sqrt{3}\right);\left(-4;-\sqrt{3}\right)\)
3. \(\left(\sqrt{3};2\right);\left(\sqrt{3};-2\right);\left(-\sqrt{3};2\right);\left(-\sqrt{3};-2\right)\)
4. \(\left(2;\sqrt{3}\right);\left(2;-\sqrt{3}\right);\left(-2;\sqrt{3}\right);\left(-2;-\sqrt{3}\right)\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

1. Tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của (H) có hệ số góc bằng 0,75
2. Trên mỗi nhánh của (H) có một tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0,75
3. Trên mỗi nhánh của (H) có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0,75
4. Không có tiếp tuyến nào của (H) có hệ số góc bằng 0,75

Cho hyperbol (H) : \(9x^2-4y^2-36=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. (H) có trục thực bằng 4
2. (H) có trục ảo bằng 6
3. (H) có tâm sai \(e=1,5\)
4. Hai tiệm cận của (H) là \(y=\pm\frac{3}{2}x\)

Cho hyperbol (H) : \(4x^2-5y^2-20=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Trục thực bằng \(2\sqrt{5}\)
2. Tiêu điểm \(F_1\left(-3,0\right);F_2\left(3,0\right)\)
3. Tiệm cận \(y=\pm\frac{4}{5}x\)
4.  \(A_1\left(-\sqrt{5};0\right);A_2\left(\sqrt{5};0\right)\)là hai đỉnh.

Cho hyperbol (H) : \(4x^2-y^2=16\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Trục ảo bằng 8
2. Tâm sai \(e=\sqrt{5}\)
3. Tiêu điểm \(F_1\left(-2\sqrt{5};0\right);F_2\left(2\sqrt{5};0\right)\)
4. Đường chuẩn \(x=-\frac{4}{\sqrt{5}};x=\frac{4}{\sqrt{5}}\)

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có trục ảo bằng 8, tiêu cự bằng 10. (H) có tâm đối xứng O và hai trục đối xứng là Ox, Oy. 

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
2. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
4. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)

 Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có tiêu cự bằng 20, hai đường tiệm cận là \(4x\pm3y=0\). 

1. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
2. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
3. \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
4. \(\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(64x^2-169y^2=10816\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Tiệm cận \(8x\pm13y=0\)
2. Đỉnh \(A_1\left(-13;0\right);A_2\left(13;0\right)\)
3. Đường chuẩn \(x=\pm\frac{169}{\sqrt{233}}\)
4. Đường tròn đi qua 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có bán kính bằng 13

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, có tâm sai \(e=-\sqrt{5}\) và đi qua điểm \(M\left(\sqrt{10};-6\right)\). 

1. \(4x^2-y^2=1\)
2. \(x^2-4y^2=1\)
3. \(\frac{x}{4}^2-y^2=1\)
4. \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai trục đối xứng là Ox, Oy, các tiêu điểm nằm trên trục hoành, tâm sai \(e=\frac{5}{3}\) và đi qua điểm \(M\left(5;-\frac{16}{3}\right)\). 

1. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
2. \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1\)
3. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1\)

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right)\) và đi qua điểm \(A\left(-2\sqrt{5};-2\right)\). 

1. \(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)
2. \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
3. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)
4. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)

Viết phương trình chính tắc của  hyperbol (H) đi qua  \(A\left(4\sqrt{2};-3\right)\) và có hai tiêu điểm trùng với hai tiêu điểm của elip (E):  \(\frac{x^2}{70}+\frac{y^2}{50}=1\) 

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
2. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{10}=1\)
4. \(\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{15}=1\)

Cho điểm  \(A\left(-4;-6\right)\) thuộc elip (E) : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) và  hyperbol (H) có phương trình \(x^2-y^2=8\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (E).  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Các tiêu điểm của elip (E) là  \(F_1\left(-4;0\right);F_2\left(4;0\right)\)
2. \(a^2+b^2=16\)
3. \(\frac{16}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1\)
4. \(a^2-b^2=16\)

Cho hyperbol (H) có hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) nằm trên trục Ox và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Một điểm \(M\in\left(H\right)\) có hoành độ \(x_M=-5\). Các bán kính qua tiêu điểm M  có độ dài lần lượt bằng \(\frac{9}{4}\) và \(\frac{41}{4}\). Viết phương trình chính tắc của (H).

1. \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
2. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
3. \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{15}=1\)
4. \(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{20}=1\)

Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có hai trục tọa độ là trục đối xứng, điểm \(M\left(4;-3\right)\) thuộc hyperbol (H) và nhìn hai tiêu điểm dưới một góc \(90^0\). 

1. \(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{10}=1\)
2. \(\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{15}=1\)
3. \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{15}=1\)
4. \(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{20}=1\)

Cho hyperbol (H) : \(9x^2-16y^2-144=0\). Tìm tâm sai của elip (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) và có chung tiêu điểm với (H). 

1. \(\frac{\sqrt{10}}{4}\)
2. \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)
3. \(\frac{\sqrt{10}}{6}\)
4. \(\frac{\sqrt{10}}{8}\)

Đường thẳng \(2x+3y-1=0\) là một tiếp tuyến của hyperbol (H) : \(x^2-3y^2=1\). Hãy tìm tiếp điểm.

1. \(M\left(-2;1\right)\)
2. \(M\left(2;-1\right)\)
3. \(M\left(1;-2\right)\)
4. \(M\left(-1;2\right)\)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) và điểm \(M\left(5;1\right)\). Viết phương trình đường thẳng  (d) đi qua M, cắt hyperbol (H) tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. 

1. \(20x+9y-91=0\)
2. \(20x-9y-91=0\)
3. \(20x+9y+91=0\)
4. \(20x-9y+91=0\)

Cho đường cong (H) : \(y=\sqrt{x^2-9},\left(x\ge3\right)\) và đường thẳng (d) : \(5x-4y+30=0\). Trên (H) tồn tại một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (d) là ngắn nhất. Hãy xác định tọa độ điểm đó.

1. (5; -4)
2. (4;-5)
3. (5;4)
4. (4;5)

Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\). Tích số các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến một tiếp tuyến bất kì của (H) đến một tiếp tuyến bất kì của (H) là một hằng số. Tìm hằng số này.

1. 20
2. 16
3. 4
4. 36