Viết phương trình chính tắc hyperbol (H) có một đường chuẩn là \(x=\frac{10}{3}\) , đi qua điểm \(A\left(6;\frac{8}{\sqrt{5}}\right)\) và có nửa tiêu cự \(c\le6\) .
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\) \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải:(H) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), đường chuẩn có phương trình \(x=\dfrac{a^2}{c}\). Theo giả thiết \(\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow a^2=\dfrac{10c}{3};b^2=c^2-a^2=c^2-\dfrac{10c}{3}\). Phương trình (H) trở thành
\(\dfrac{x^2}{10c}-\dfrac{y^2}{c^2-\dfrac{10c}{3}}=1\)
Điểm \(A\left(6;\frac{8}{\sqrt{5}}\right)\) thuộc hypebol nên nó có tọa độ thỏa mãn phương trình của hypebool :
\(\dfrac{6^2}{\dfrac{10c}{3}}-\dfrac{\left(\dfrac{8}{\sqrt{5}}\right)^2}{c^2-\dfrac{10c}{3}}=1\Leftrightarrow\dfrac{3.6^2}{10c}-\dfrac{3.8^2}{5\left(3c^2-10c\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow3.36\left(3c-10\right)-3.8^2.2=10\left(3c^2-10c\right)\Leftrightarrow54\left(3c-10\right)-192=5\left(3c^2-10c\right)\)
\(\Leftrightarrow15c^2-212c+732=0\Leftrightarrow c=6;c=\dfrac{122}{15}\). Do yêu cầu đề bài phải có nửa tiêc cự \(c\le6\) nên nghiệm \(c=\dfrac{122}{15}\) bị loại, chỉ có \(c=6\) chấp nhận được. Ta có \(a^2=\dfrac{10c}{3}=20;b^2=c^2-a^2=36-20=16\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{20}-\dfrac{y^2}{16}=1\)
