Từ điểm \(A\) ở ngoài đường tròn \(\left(O\right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) với đường tròn \(\left(O\right)\) (\(B\), \(C\) là hai tiếp điểm). Kẻ cát tuyến \(ADE\) với \(\left(O\right)\) không đi qua \(O\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
\(a\)) Chứng minh \(OD^2=OH\cdot OA\). Từ đó suy ra tam giác \(OHD\) đồng dạng với tam giác \(ODA\).
\(b\)) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(AE\). Chứng minh \(HI\) là phân giác của góc \(DHF\).
a) Do AB, AC tiếp xúc (O) tại B, C nên \(\widehat{OBA}=90^o\) và \(OA\perp BC\) tại H.
Xét tam giác OAB vuông tại B có đường cao BH, ta có \(OB^2=OA.OH\)
Mà \(OB=OD\left(=R_{\left(O\right)}\right)\) nên \(OD^2=OA.OH\). Từ đó suy ra \(\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{OH}{OD}\). Từ đó dễ dàng suy ra 2 tam giác OHD và ODA đồng dạng.
b) Tam giác OAB vuông tại B có đường cao BH nên \(AB^2=AH.AO\)
Mặt khác, ta có \(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\) vì chúng lần lượt là góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD.
\(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
Từ đó suy ra \(AH.AO=AD.AE\) hay \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AE}{AO}\). Do đó \(\Delta AHE~\Delta ADO\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{AOD}\) hay tứ giác OHDE nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{DEO}=\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\)
\(\Rightarrow90^o-\widehat{AHD}=90^o-\widehat{OHE}\) \(\Rightarrow\widehat{DHI}=\widehat{EHI}\).
Ta suy ra được đpcm.
Từ một điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm). trên tia đối của tia BC, lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO vá AC . Qua E , vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), có tiếp điểm là M ; tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.
a. Chứng minh bốn điểm D ,B, ,O, M cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh D ,B, O, M ,K cùng thuộc một đường tròn.
Cho (O,R) đường kính AB. Qua A kẻ hai tiếp tuyến Ax với (O). Trên tia Ax lấy C sao cho AC> R. Từ C kẻ tiếp tuyến CM với (O) (M là tiếp điểm) a)Chứng minh: 4 điểm A,C,O,M cùng thuộc một đường tròn b)Chứng minh: MB//OC c)Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với (O). Chứng minh:BC.BK=4R^2 d)Chứng minh: CM^2=CK.BC và góc CKM= góc CMB MNG GIÚP E VỚI GẤP
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC, BC cắt AO tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối của MN lấy P tùy ý. Từ P kẻ tiếp tuyến PQ với (O). Chứng minh PQ = PA.
Gọi E là giao của AO và MN
MN là đường trung bình của ΔABC
=>MN//BC
=>MN vuông góc AO tại E
PA^2=PE^2+AE^2
=AN^2-EN^2+OP^2-EO^2
=NC^2-EN^2+PQ^2+QO^2-EO^2
=NO^2-R^2+PQ^2+R^2-NO^2
=PQ^2
=>PA=PQ
Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ nằm trên đường đi qua trung điểm Q và N của AB và AC. Từ M kẻ tiếp tuyến MK với (O) (K là tiếp điểm). Chứng minh rằng: MK=MA.
Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ nằm trên đường đi qua trung điểm Q và N của AB và AC. Từ M kẻ tiếp tuyến MK với (O) (K là tiếp điểm). Chứng minh rằng: MK=MA.
Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ nằm trên đường đi qua trung điểm Q và N của AB và AC. Từ M kẻ tiếp tuyến MK với (O) (K là tiếp điểm). Chứng minh rằng: MK=MA.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DM = DB, EM = EC, AB = AC
Chu vi ΔADE:
CΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). M là điểm bất kì trên đường thẳng d đi qua các trung điểm của AB, AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MA=MK.
Cho đường tròn O và đường thẳng d đi qua đường tròn nhưng không qua O
Lấy d cắt O tại hai điểm A,B . chọn điểm M thuộc O nằm ngoài đoạn AB
kẻ MC,MD là tiếp tuyến của (O), ( C,D thuộc (O) )
Kẻ hai tiếp tuyến của (O) cắt (O) tại A,B
giao điểm hai tiếp tuyến đó là I
CMR I,C,D thẳng hàng
Cho (O;R) điểmA nằm ngoài đường tròn.Qua A kẻ tiếp tuyến AB với (O,R)(B là tiếp điểm).Kẻ đường kính BC,nối AC cắt (O) tại điểm E.Chứng minh:
1.EC.AC=4R^2
2.Qua A kẻ tiếp tuyến AM với (O)(M là tiếp điểm).Kẻ đường kính BC nối AC cắt (O)tại điểm E.Chứng minh:KC là tiếp tuyến của (O)
4.Chứng minh BC là 1 tiếp tuyến của đường tròn đường kính AK
