Bài 9: Hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCN, có:

IH = ID (gt)

IA = IC (gt)

=> tứ giác AHCN là hình bình hành

lại có \(\widehat{AHC}=90^0\)

=> hình bình hành AHCN là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90^0\)

=>AEMF là hình chữ nhật

b:

Ta có: MF\(\perp\)AD

DC\(\perp\)AD

Do đó: MF//DC

Ta có: AEMF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{AMF}\)

mà \(\widehat{AMF}=\widehat{ACD}\)(hai góc đồng vị, MF//CD)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ACD}\)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD và AC=BD

=>OA=OB=OC=OD

Xét ΔACD vuông tại D và ΔCAB vuông tại B có

CA chung

AD=CB

Do đó: ΔACD=ΔCAB

=>\(\widehat{ACD}=\widehat{CAB}\)

mà \(\widehat{CAB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)(ΔOAB cân tại O)

nên \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EF//BD

a: M đối xứng E qua AB

=>AB là đường trung trực của ME

=>AB\(\perp\)ME tại I và I là trung điểm của ME

Ta có: M đối xứng F qua AC

=>AC là đường trung trực của MF

=>AC\(\perp\)MF tại K và K là trung điểm của MF

Xét tứ giác AIMK có

\(\widehat{AIM}=\widehat{AKM}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIMK là hình chữ nhật

b: Ta có: AKMI là hình chữ nhật

=>AK//MI và AK=MI; KM//AI và KM=AI

Ta có: MI//AK

I\(\in\)ME

Do đó: IE//AK

Ta có: AK=IM

IM=IE

Do đó: AK=IE

Ta có: AI=MK

MK=KF

Do đó: AI=KF

Ta có: AI//MK

K\(\in\)MF

Do đó: AI//KF

Xét tứ giác AKIE có

AK//IE

AK=IE

Do đó: AKIE là hình bình hành

=>KI//AE và KI=AE

Xét tứ giác AIKF có

AI//KF

AI=KF

Do đó: AIKF là hình bình hành

=>KI//AF và KI=AF

Ta có: KI//AF

KI//AE

AE,AF có điểm chung là A

Do đó: E,A,F thẳng hàng

Ta có: KI=AE

KI=AF

Do đó: AE=AF

mà E,A,F thẳng hàng

nên A là trung điểm của EF

a: Xét tứ giác AQMK có

\(\widehat{AQM}=\widehat{AKM}=\widehat{KAQ}=90^0\)

=>AQMK là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

Xét tứ giác AMCE có

K là trung điểm chung của AC và ME

=>AMCE là hình bình hành

Hình bình hành AMCE có AC\(\perp\)ME

nên AMCE là hình thoi

a: Xét tứ giác AHCD có

I là trung điểm chung của AC và HD

=>AHCD là hình bình hành

Hình bình hành AHCD có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCD là hình chữ nhật

b: Ta có: AHCD là hình chữ nhật

=>\(AC^2=AD^2+AH^2\)

=>\(AC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(AC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HI là đường trung tuyến

nên \(HI=\dfrac{AC}{2}=5\left(cm\right)\)

a) Với ∆ABC ⊥ tại A và M là trung điểm BC, ta có:

- Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + AC^2 = BC^2

- Thay giá trị vào, ta có: 6^2 + 8^2 = BC^2

- Tính toán, ta có: 36 + 64 = BC^2

- Tổng cộng, BC^2 = 100

- Vì BC là độ dài, nên BC = √100 = 10cm

- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC = 10/2 = 5cm

b) Để chứng minh ABEC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB // EC và AB = EC.

- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC.

- Vì ∆ABC ⊥ tại A, nên góc BAC = 90 độ.

- Vì M là trung điểm BC, nên BM = MC.

- Vì BM = MC và góc BAC = 90 độ, nên ∆BAM ≅ ∆CAM theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có AB = AC và góc BAM = góc CAM.

- Vì AB = AC và góc BAM = góc CAM, nên ∆ABM ≅ ∆ACM theo cạnh-góc-cạnh.

- Từ đó, ta có góc AMB = góc AMC và BM = MC.

- Vì góc AMB = góc AMC và BM = MC, nên ∆BME ≅ ∆CME theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có góc BME = góc CME và BM = MC.

- Vì góc BME = góc CME và BM = MC, nên BM // EC.

- Vì BM // EC và AB = AC, nên AB // EC và AB = EC.

- Từ đó, ta có ABEC là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh AH = IK và NO = 1/2 IK, ta cần chứng minh ∆AHN ≅ ∆IKO.

- Vì AH ⊥ BC và IK ⊥ AB, nên góc HAN = góc KIO = 90 độ.

- Vì AH ⊥ BC và HN ⊥ AN, nên góc HAN = góc HNA.

- Vì IK ⊥ AB và KO ⊥ AO, nên góc KIO = góc KOI.

- Vì góc HAN = góc HNA và góc KIO = góc KOI, nên ∆AHN ≅ ∆IKO theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có AH = IK và NO = 1/2 IK.

d) Vì ∆AHN ≅ ∆IKO, nên góc INK = góc HNO.

- Vì NO = 1/2 IK, nên góc HNO = góc INK.

- Từ đó, ta có góc INK = góc HNO.

a: AI là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{DAI}\)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{AID}\)(hai góc so le trong, AB//DI)

nên \(\widehat{DAI}=\widehat{DIA}\)

=>DA=DI

AI là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{DAI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAD}=60^0\)

Xét ΔDAI có DA=DI và \(\widehat{DAI}=60^0\)

nên ΔDAI đều

=>AI=ID

mà \(ID=\dfrac{DC}{2}\)

nên \(AI=\dfrac{DC}{2}\)

Xét ΔADC có

AI là đường trung tuyến

\(AI=\dfrac{DC}{2}\)

Do đó: ΔADC vuông tại A

=>AD\(\perp\)AC
b: ABCD là hình bình hành

=>\(\widehat{D}+\widehat{BAD}=180^0\)

=>\(\widehat{D}+120^0=180^0\)

=>\(\widehat{D}=60^0\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\widehat{B}=\widehat{D}=60^0\)

mà \(\widehat{IAB}=60^0\)

nên \(\widehat{IAB}=\widehat{CBA}\)

Xét tứ giác ABCI có AB//CI 

nên ABCI là hình thang

Hình thang ABCI có \(\widehat{IAB}=\widehat{ABC}\)

nên ABCI là hình thang cân

c: Xét ΔADC vuông tại A có \(cosDAC=\dfrac{AD}{DC}\)

=>\(\dfrac{AD}{DC}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AD=\dfrac{1}{2}DC=DI=IC\)

AD=IC

AD=BC

Do đó: CI=CB

=>ΔCBI cân tại C

=>\(\widehat{CBI}=\widehat{CIB}\)

mà \(\widehat{CIB}=\widehat{ABI}\)(hai góc so le trong, AB//CI)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{CBI}\)

=>BI là phân giác của góc ABC

92:

Kẻ BH\(\perp\)DC tại H

Xét tứ giác ABHD có

\(\widehat{BHD}=\widehat{BAD}=\widehat{ADH}=90^0\)

=>ABHD là hình chữ nhật

=>AB=HD=16cm

HD+HC=CD

=>HC+16=24

=>HC=8cm

ΔBHC vuông tại H

=>\(BH^2+HC^2=BC^2\)

=>\(BH^2+8^2=17^2\)

=>\(BH^2+64=289\)

=>\(BH^2=225\)

=>BH=15(cm)

ABHD là hình chữ nhật

=>AD=BH=15(cm)

=>x=15(cm)

93:

BD=BH+DH

=6+2

=8(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BD\\AD^2=DH\cdot DB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=6\cdot8=48\\AD^2=2\cdot8=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\sqrt{3}\left(cm\right)\\AD=4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Sửa đề: ΔABC vuông tại A

Xét tứ giác AHMK có

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=\widehat{HAK}=90^0\)

=>AHMK là hình chữ nhật

Sửa đề: Lấy F sao cho B là trung điểm của AF

a: Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm chung của AE và BC

nên ABEC là hình bình hành

Hình bình hành ABEC có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABEC là hình chữ nhật

b: ABEC là hình chữ nhật

=>AB//EC và AB=EC

AB=EC

BA=BF

Do đó: BF=EC

Xét tứ giác BFEC có

BF//EC

BF=EC

Do đó: BFEC là hình bình hành

=>BE cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BE

nên I là trung điểm của FC

=>IF=IC