Bài 11: Hình thoi

1. Định nghĩa

Cho tứ giác \(ABCD\) như hình vẽ sau:

Tứ giác \(ABCD\) có bốn cạnh \(AB=BC=CD=AD\). Ta nói: \(ABCD\) là một hình thoi.

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi \(\Leftrightarrow AB=BC=CD=AD\).

Hình thoi \(ABCD\) có \(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AD=BC\end{matrix}\right.\) nên nó là hình bình hành (tứ giác có các cạnh đối bằng nhau).

Nhận xét: Hình thoi cũng là hình bình hành.

2. Tính chất

Ở trên ta đã biết hình thoi cũng là một hình bình hành. Do đó nó có tất cả các tính chất của hình bình hành:

• Các cạnh đối song song và bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra, ta chứng minh được tính chất sau của hình thoi:

Định lí: Trong hình thoi

• Hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Chứng minh:

Gọi \(AC\cap BD\equiv O\). Theo tính chất hình bình hành ta có \(O\) là trung điểm \(AC,BD\). 

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB=BC\), suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).

Mà \(BO\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) \(\Rightarrow BO\) đồng thời là đường cao, đường phân giác của tam giác \(ABC\).

Như vậy ta có \(BD\perp AC\) và \(BD\) là phân giác của góc \(B\).

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(AC\) là phân giác góc \(A\), \(CA\) là phân giác góc \(C\), \(DB\) là phân giác góc \(D\) (Điều phải chứng minh).

3. Dấu hiệu nhận biết

Muốn chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta dựa vào các dấu hiệu:

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
4. Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.

Chứng minh:

1. Định nghĩa hình thoi.

2. Xét hình bình hành \(ABCD\). Giả sử \(AB=BC\).

Do \(ABCD\) là hình bình hành \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AD=BC\end{matrix}\right.\) mà \(AB=BC\) \(\Rightarrow AB=BC=CD=AD\).

Theo định nghĩa, ta suy ra \(ABCD\) là hình thoi.

3. Xét hình bình hành \(ABCD\). Giả sử \(AC\perp BD\equiv O\).

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm \(AC,BD\).

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta CBO\) có: \(\left\{ \begin{array} $BO \text{ chung}\\ \widehat{AOB}=\widehat{COB}=90^0\\ AO=CO \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta CBO\) (cạnh - góc - cạnh) \(\Rightarrow AB=BC\).

Theo dấu hiệu 2, ta suy ra \(ABCD\) là hình thoi.

4. Xét hình bình hành \(ABCD\). Giả sử \(AC\) là phân giác góc \(BAD\).

Do \(AD\)//\(BC\) (tính chất hình bình hành) \(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{CAD}\) (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat{CAD}=\widehat{BAC}\) (giả thiết) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại \(B\) \(\Rightarrow AB=BC\).

Theo dấu hiệu 2, ta suy ra \(ABCD\) là hình thoi.

Như vậy, muốn chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta cần sử dụng linh hoạt một trong bốn dấu hiệu trên.

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(B\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm \(AC,AB,BC\). Chứng minh tứ giác \(NMPB\) là hình thoi.

Lời giải:

Ta có \(M,P\) là trung điểm \(AC,BC\) \(\Rightarrow\) \(MP\) song song và bằng một nửa \(AB\) (theo tính chất đường trung bình tam giác) \(\Rightarrow MP\)//\(BN\) và \(MP=BN\).

Do đó \(NMPB\) là hình bình hành.

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}BN=\dfrac{1}{2}AB\\BP=\dfrac{1}{2}BC\\AB=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BN=BP\).

Theo dấu hiệu 2, ta suy ra \(NMPB\) là hình thoi.