Bài 12: Hình vuông

1: Xét tứ giác BKIC có

BK//IC

BK=IC

BK=BC

góc KBC=90 độ

Do đó: BKIC là hình vuông

2: Gọi G là trung điểm của BH

Xét ΔHAB có HM/HA=HG/HB

nên MG//AB và MG=AB/2

=>MG//IC và MG=IC

=>MGCI là hình bình hành

=>MI//CG

Xét ΔCBM có

MG,BH là các đường cao

MG cắt BH tại G

DO đó: G là trực tâm

=>CG vuông góc với MB

=>MI vuông góc với MB

Lời giải:

a. Xét tam giác vuông $DNC$ và $CMB$ có;

$DC=CB$ 
$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=MB$

$\Rightarrow \triangle DNC=\triangle CMB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$

Mà $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{D_1}+\widehat{C_2}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{DIC}=90^0$

$\Rightarrow CM\perp DN$ tại $I$

b.

Gọi $K$ là trung điểm của $DC$, $AK$ giao $DN$ tại $T$

Ta thấy $AM\parallel KC$ và $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=KC$

$\Rightarrow AMCK$ là hình bình hành

$\Rightarrow AK\parallel CM$. Mà $CM\perp DN$ nên $AK\perp DN(*)$

Mặt khác:

$AIC$ có $TK\parallel IC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{DT}{TI}=\frac{DK}{KC}=1$

$\Rightarrow T$ là trung điểm $DI$

$\Rightarrow AT$ là trung tuyến của tam giác $ADI$ $(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $AT$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến của tam giác $ADI$

$\Rightarrow ADN$ là tam giác cân tại $A$

$\Rightarrow AI=AD=AB$

$\Rightarrow AIB$ cân tại $A$

Hình vẽ:

a: Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD

nên MQ//BD và MQ=BD/2

Xét ΔCBD có CN/CB=CP/CD

nên NP//BD và NP=BD/2

=>MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

=>MN vuông góc với MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//PN

MQ=PN

góc QMN=90 độ

Do đó: MNPQ là hìn chữ nhật

b: Để MNPQ là hình vuông thì MQ=MN

=>AC=BD

AB=BC=CD=DA

AE=BK=CP=QD

=>BE=KC=PD=AQ

Xét ΔAEQ vuông tại A và ΔDQP vuông tại D có

AQ=DP

AE=DQ

=>ΔAEQ=ΔDQP và EQ=QP

=>góc AQE=góc DPQ

=>góc AQE+góc DQP=90 độ

=>góc EQP=90 độ

Xét ΔDQP vuông tại D và ΔCPK vuông tại C co

DQ=CP

DP=CK

=>ΔDQP=ΔCPK

=>QP=PK

Xét ΔCPK vuông tại C và ΔBKE vuông tại B có

CP=BK

CK=BE

=.ΔCPK=ΔBKE

=>PK=KE

=>EK=KP=PQ=QE

mà góc EQP=90 độ

nên EKPQ là hình vuông

a: Xét ΔMNQ có MI/MN=MH/MQ

nên HI//NQ và HI=NQ/2

Xét ΔPNQ có PK/PN=PT/PQ

nên KT//NQ và KT=NQ/2

Xét ΔNMQ có NI/NM=NK/NP

nên KI//MP

=>KI vuông góc với NQ

=>KI vuông góc IH

Xét tứ giác IHTK có

IH//KT

IH=KT

góc HIK=90 độ

Do đó: IHTK là hình chữ nhật

b: Để IHTK là hình vuông thì IH=IK

=>MP=NQ

Xét tứ giác EGCB có

góc EBC=góc GCB=góc EGC=90 độ

=>EGCB là hình chữ nhật

mà P,Q,M,N lần lượt là trung điểm của 4 cạnh của trong hình chữ nhật EGCB

nên MNPQ là hình vuông

a: Xét ΔADI vuông tại D và ΔAHI vuông tại H có

AI chung

góc DAI=góc HAI

=>ΔADI=ΔAHI

=>AD=AH=AB

Xet ΔABK vuông tại B và ΔAHK vuông tại H co

AK chung

AB=AH

=>ΔABK=ΔAHK

b: ΔABK=ΔAHK

=>góc HAK=góc BAK

góc IAK=góc IAH+góc HAK=1/2*90=45 độ

a: góc HAF+góc FAB+góc BAD+góc DAM=360 độ

=>góc HAF+góc BAD=180 độ

=>góc HAF=góc ADC

=>ΔFAH=ΔCDA

=>AC=FH

b: góc CBE=góc ABC+90 độ

góc GDC=góc ADC+90 độ

góc ABC=góc ADC

=>góc CBE=góc GDC

=>ΔCBE=ΔGDC

=>CE=GC

=>ΔCEG cân tại C

'