Lời giải:
a. Xét tam giác vuông $DNC$ và $CMB$ có;
$DC=CB$
$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=MB$
$\Rightarrow \triangle DNC=\triangle CMB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$
Mà $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{D_1}+\widehat{C_2}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{DIC}=90^0$
$\Rightarrow CM\perp DN$ tại $I$
b.
Gọi $K$ là trung điểm của $DC$, $AK$ giao $DN$ tại $T$
Ta thấy $AM\parallel KC$ và $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=KC$
$\Rightarrow AMCK$ là hình bình hành
$\Rightarrow AK\parallel CM$. Mà $CM\perp DN$ nên $AK\perp DN(*)$
Mặt khác:
$AIC$ có $TK\parallel IC$ nên theo định lý Talet:
$\frac{DT}{TI}=\frac{DK}{KC}=1$
$\Rightarrow T$ là trung điểm $DI$
$\Rightarrow AT$ là trung tuyến của tam giác $ADI$ $(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra $AT$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến của tam giác $ADI$
$\Rightarrow ADN$ là tam giác cân tại $A$
$\Rightarrow AI=AD=AB$
$\Rightarrow AIB$ cân tại $A$
