1.

\(\int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}\int f\left(ax+b\right).d\left(ax+b\right)=\frac{1}{a}.F\left(ax+b\right)+C\)

2.

\(F'\left(x\right)=3mx^2+2\left(3m+2\right)x-4\)

Để F(x) là 1 nguyên hàm của \(f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=3\\2\left(3m+2\right)=10\\-4=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

3.

\(\int\left(x^2-3x\right)\left(x+1\right)dx=\int\left(x^3-2x^2-3x\right)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+C\)

4.

\(\int\left(x^3-\frac{3}{x^2}+2^x\right)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{x}+\frac{2^x}{ln2}+C\)

5.

\(\int e^{2019x}dx=\frac{1}{2019}\int e^{2019x}d\left(2019x\right)=\frac{1}{2019}e^{2019x}+C\)

6.

\(\int sin2018x.dx=\frac{1}{2018}\int sin2018x.d\left(2018x\right)=-\frac{1}{2018}cos2018x+C\)

7.

\(\int\frac{x^2-x+1}{x-1}dx=\int\left(\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\int\left(x+\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{1}{2}x^2+ln\left|x-1\right|+C\)

8.

\(F\left(x\right)=\int\left(2x+1\right)^3dx=\frac{1}{2}\int\left(2x+1\right)^3d\left(2x+1\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+C\)

\(F\left(\frac{1}{2}\right)=4\Leftrightarrow\frac{1}{8}\left(2.\frac{1}{2}+1\right)^4+C=4\Rightarrow C=2\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+2\Rightarrow F\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{8}4^4+2=34\)

9.

\(f\left(x\right)=F'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=2\\f\left(2\right)=3\\f\left(3\right)=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a.1+2b.1+c=2\\3a.2^2+2b.2+c=3\\3a.3^2+2b.3+c=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b+c=2\\12a+4b+c=3\\27a+6b+c=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=\frac{1}{2}\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+x+1\)

10.

\(F\left(x\right)=\int\frac{x-2}{x^3}dx=\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)dx=\int\left(x^{-2}-2x^{-3}\right)dx\)

\(=-1.x^{-1}+x^{-2}+C=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+C\)

\(F\left(-1\right)=3\Leftrightarrow1+1+C=3\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+1\)

Ta có: \(f\left(x+1\right)-f\left(x\right)=100\)

Thay \(y=f\left(x\right)=5^x\) vào ta có:

\(5^{x+1}-5^x=100\)

\(\Rightarrow5^x\cdot5^1-5^x=100\)

\(\Rightarrow5^x\cdot\left(5^1-1\right)=100\)

\(\Rightarrow5^x\cdot4=100\)

\(\Rightarrow5^x=25=5^2\)

\(\Rightarrow x=2\)

x=2

x=2 nha

bn giỏi nên mk thích giải giúp bn:

5^x+1 -5^x = 100

5^x(5-1) = 100

5^x = 25 =5²

x = 2

x=2

thế câu a làm thế nào bạn ơi, mình cx đang pó tay vs câu này

Lời giải:

Cho $a=b=5$ thì:

$f(10)=f(5)+f(5)=2f(5)$

Vì $5$ là nghiệm của $f(x)$ nên $f(5)=0$

$\Rightarrow f(10)=2f(5)=2.0=0$

$\Rightarrow 10$ là nghiệm của $f(x)$

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c\)

\(\Rightarrow\) c là số nguyên

\(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c\)

Vì c là số nguyên nên a + b là số nguyên (1)

\(f\left(2\right)=a.2^2+b.2+c=2\left(2a+b\right)+c\)

Vì c là số nguyên nên 2(2a + b) là số nguyên

\(\Rightarrow\) 2a + b là số nguyên (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) (2a + b) - (a + b) là số nguyên \(\Rightarrow\) a là số nguyên

\(\Rightarrow\) b là số nguyên

Vậy f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.