Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm tam giác

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(x+3;y\right)\) ; \(\overrightarrow{BH}=\left(x-3;y\right)\); \(\overrightarrow{BC}=\left(-1;6\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(5;6\right)\)

Do H là trực tâm tam giác \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(x+3\right)+6y=0\\5\left(x-3\right)+6y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+6y=3\\5x+6y=15\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\dfrac{5}{6}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(2;\dfrac{5}{6}\right)\)

Gọi E(x;y) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\\\overrightarrow{EC}=\left(3-x;3-y\right)\end{matrix}\right.\)

Tứ giác ABCE là hbh khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x=1\\3-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(2;5\right)\)

1: \(\overrightarrow{AB}=\left(-10;-5\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;8\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) ΔABC vuông tại C

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+3^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\)

Do đó: \(S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=30\)

Do C thuộc trục tung nên tọa độ có dạng \(C\left(0;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-1;c-2\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow4-\left(c-2\right)=0\Rightarrow c=6\)

\(\Rightarrow C\left(0;6\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(-1;4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{17}\\AC=\sqrt{\left(-1\right)^2+4^2}=\sqrt{17}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{17}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BA}=\left(3;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-4;-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{3.\left(-4\right)+1.2}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=135^0\)

Gọi A ' x ; y . Ta có  A A ' → = x − 4 ; y − 3 B C → = −   5 ; −   15 B A ' → = x − 2 ; y − 7 .

Từ giả thiết, ta có  A A ' ⊥ B C B ,   A ' ,   C  thang hang ⇔ A A ' → . B C → = 0 1 B A ' → = k B C → 2 .

  1 ⇔ −   5 x − 4 − 15 y − 3 = 0 ⇔ x + 3 y = 13.  

  2 ⇔ x − 2 − 5 = y − 7 − 15 ⇔ 3 x − y = − 1.

Giải hệ x + 3 y = 13 3 x − y = −   1 ⇔ x = 1 y = 4    ⇒    A ' 1 ; 4 .  

Chọn C.

Gọi A’ (x; y).

Ta có  A A ' → = x − 4 ; y − 3 B C → = −   5 ; −   15 B A ' → = x − 2 ; y − 7 .

Từ giả thiết, ta có  A A ' ⊥ B C B ,   A ' ,   C  thang hang ⇔ A A ' → . B C → = 0 1 B A ' → = k B C → 2 .

  1 ⇔ −   5 x − 4 − 15 y − 3 = 0 ⇔ x + 3 y = 13.  

  2 ⇔ x − 2 − 5 = y − 7 − 15 ⇔ 3 x − y = − 1.

Giải hệ x + 3 y = 13 3 x − y = −   1 ⇔ x = 1 y = 4    ⇒    A ' 1 ; 4 .  

Chọn C

Chọn A

Phân tích.

     - Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A:x-3y+5=0 , giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

     - Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

     - Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

     - Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.