\(M^2=\left(3sinx+4cosx\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)

\(\Rightarrow-5\le M\le5\)

\(\Rightarrow M_{max}=5\) ; \(M_{min}=-5\)

Chọn A

Xét phương trình: y=3sinx+4cosx+5

<=>3sinx+4cosx+5-y=0

Để phương trình có nghiệm:

=>3²+4²≥(5-y)² (đẳng thức Bunhiacopxki)

<=>25≥25-10y+y²

<=>y²-10y≤0

<=>0≤y≤10

vậy min_y=0; max_y=10

1.

\(y=\frac{1}{2}sin2x-1\)

Do \(-1\le sin2x\le1\Rightarrow-\frac{3}{2}\le y\le-\frac{1}{2}\)

\(y_{min}=-\frac{3}{2}\) ; \(y_{max}=-\frac{1}{2}\)

2.

\(y=5+5\left(\frac{4}{5}cosx-\frac{3}{5}sinx\right)=5+5cos\left(x+a\right)\) với \(cosa=\frac{4}{5}\)

Do \(-1\le cos\left(x+a\right)\le1\Rightarrow0\le y\le10\)

\(y_{min}=0\) ; \(y_{max}=10\)

a/

\(P=\frac{sinx+1}{sinx+cosx+2}\Leftrightarrow P.sinx+P.cosx+2P=sinx+1\)

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)sinx+P.cosx=1-2P\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất

\(\Rightarrow\left(P-1\right)^2+P^2\ge\left(1-2P\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2P^2-2P\le0\)

\(\Rightarrow0\le P\le1\)

b/ Tương tự:

\(\Leftrightarrow\left(P-3\right)sinx+\left(P+4\right)cosx=5-2P\)

\(\Rightarrow\left(P-3\right)^2+\left(P+4\right)^2\ge\left(5-2P\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2P^2-22P\le0\)

\(\Rightarrow0\le P\le11\)

1: \(y=\sqrt{3}\cdot sin^2x-\left(1-sin^2x\right)+5\)

\(=sin^2x\left(\sqrt{3}+1\right)-1+5=sin^2x\left(\sqrt{3}+1\right)+4\)

\(0< =sin^2x< =1\)

=>\(0< =sin^2x\left(\sqrt{3}+1\right)< =\sqrt{3}+1\)

=>4<=y<=căn 3+5

y min=4 khi sin^2x=0

=>sin x=0

=>x=kpi

\(y_{max}=5+\sqrt{3}\) khi \(sin^2x=1\)

=>\(cos^2x=0\)

=>cosx=0

=>\(x=\dfrac{pi}{2}+kpi\)

2: \(y=5\left[\dfrac{3}{5}sinx+\dfrac{4}{5}cosx\right]+7\)

\(=5\cdot\left[sinx\cdot cosa+cosx\cdot sina\right]+7\)(Với cosa=3/5; sin a=4/5)

\(=5\cdot sin\left(x+a\right)+7\)

-1<=sin(x+a)<=1

=>-5<=5sin(x+a)<=5

=>-5+7<=y<=5+7

=>2<=y<=12

\(y_{min}=2\) khi sin (x+a)=-1

=>x+a=-pi/2+kp2i

=>\(x=-\dfrac{pi}{2}+k2pi-a\)

\(y_{max}=12\) khi sin(x+a)=1

=>x+a=pi/2+k2pi

=>\(x=\dfrac{pi}{2}+k2pi-a\)

Đáp án C