a)

+) Nếu p = 2 thì p + 10 = 2 + 10 = 12 → Hợp số ( loại)

+) Nếu p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 ; p + 14 = 17 → Số nguyên tố ( thỏa mãn )

+) Nếu p > 3 thì p có dạng : 3k + 1 hoặc 3k + 2

- Với p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1+ 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 → Hợp số ( loại )

- Với p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 2 +10 = 3k + 12 chia hết cho 3 → Hợp số (loại)

Vậy p = 3

a)

- Nếu p = 2 => p + 10 = 2 + 10 = 12 là hợp số

=> p = 2 (loại)

- Nếu p = 3 => p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố

p + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố

- Nếu p > 3 ; p là số nguyên tố thì p có dạng 3k + 1 và 3k + 2

+ p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 \(⋮\)3 là hợp số

=> p = 3k + 1 (loại)

+ p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 \(⋮\)3 là hợp số

=> p = 3k + 2 (loại)

Vập p = 3

b)

- Nếu p = 2 => p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số

=> p = 2 (loại)

- Nếu p = 3 => p + 6 = 3 + 6 = 9 là hợp số

=> p = 3 (loại)

- Nếu p = 5 => p + 2 = 5 + 2 = 7 là số nguyên tố

p + 6 = 5 + 6 =11 là số nguyên tố

p + 8 = 5 + 8 = 13 là số nguyên tố

=> p = 5 (chọn)

- Nếu p > 5; p là số nguyên tố thì p có dạng là 5k - 1

p = 5k - 1 => p + 6 = 5k - 1 + 6 = 5k + 5 \(⋮\)5 là hợp số

=> p = 5k - 1 (loại)

Vập p = 5

Mình không biết phần b mình làm đúng không nữa!

Chúc bạn học tốt!

a; nếu p=3 thì p+2=5 , p+4=7 đều là số nguyên tố

    nếu p>3 thì p có 2 dạng : p=3k+1, p=3k+2

     với p=3k+1 thì p+2=3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3 => p+2 là hợp số

    với p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6 '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' =>p+4 là hợp số

                         Vậy p=3 thỏa mãn đề bài 

     các phần còn lại tương tự

+) Với \(p=2\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}24.2^2+1=97\\3.2+1=7\end{cases}}\)

Vì \(97\) và \(7\) là các số nguyên tố nên \(p=2\)  (thỏa mãn)

+) Với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 2, suy ra \(p\) có dạng \(2k+1\) với k là số tự nhiên khác 0

\(\Rightarrow3p+1=3.\left(2k+1\right)+1=6k+3+1=6k+4⋮2\)

Mà \(k\) lớn hơn 0 nên \(6k+4>2\) nên \(3p+1\) là hợp số (loại)

Vậy \(p=2\).

* p = 2 thì 4p^2 + 1 = 25 không là SNT

* p = 3 thì 6p^2 + 1 = 55 không là SNT

* p = 5 thì 4p^2 + 1=101 và 6p^2 + 1 = 151 là SNT

Vậy p = 5 thỏa điều kiện đề bài.

* P > 5 => p = 5k ±1, hoặc p = 5k ± 2.

Khi: p = 5k ± 1thì

4p^2 + 1 = 4(25k^2 ± 10k + 1) + 1= 4.25k^2 ± 4.10k + 5 > 5 và chia hết cho 5

Khi p = 5k ± 2 thì:

6k^2 + 1 =6(25k^2 ± 10k + 4) + 1 = 6.25k^2 ± 6.10k + 25 > 5 và chia hết cho 5

Vậy khi p>5 thì 4p^2+1 và 6p^2+1 không đồng thời là SNT.

=> p = 5 là SNT cần tìm.

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

Ai nhanh minh  cho

\(a)\)Vì \(p\)là số nguyên tố

\(\Leftrightarrow\)\(p\in\left\{2;3;5;7;...\right\}\)

\(+)\)\(p=2\Leftrightarrow p+2=2+2=4\)( hợp số ) ( loại )

\(+)\)\(p=3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}p+2=3+2=5\\p+3=3+10=13\end{cases}}\)( thỏa mãn )

\(+)\)\(p>3\)mà \(p\)là số nguyên tố nên \(p\)có 2 dạng:

\(+)\)\(p=3k+1\left(k\in N\right)\Leftrightarrow p+2=3k+3⋮3\)( hợp số )

\(+)\)\(p=3k+2\Leftrightarrow p+10=3k+12⋮3\)( hợp số )

Vậy \(p=3\)\(\left(đpcm\right)\)

\(b)\)Với \(p=2\Rightarrow p+10=2+10=12\)( ko là số nguyên tố  )   \(\Rightarrow\) ( loại )

Với \(p=3\Rightarrow p+10=3+10=13\)

\(\Rightarrow\)\(p+20=20+3=23\)( đều là các số nguyên tố )   \(\Rightarrow\) ( chọn )

Nếu \(p\)chia cho 3 dư 1 \(\Rightarrow\)\(p=3k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow\)\(p+20=3k+1+20\)

\(=\)\(3k+21=3\left(k+7\right)⋮3\)

( Vì \(3⋮3;k\in N\Rightarrow k+7\in N\))

\(\Rightarrow\)\(3\left(k+7\right)\)là hợp số ; hay \(p+20\)là hợp số \(\Rightarrow\)( loại )

Nếu \(p\)chia 3 dư 2 \(\Rightarrow\)\(p=3k+2\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow\)\(p+10=3k+2+10\)

\(=\)\(3k+12=3\left(k+4\right)⋮3\)

( Vì \(3⋮3;k\in N\Rightarrow k+4\in N\))

\(\Rightarrow\)\(3\left(k+4\right)\)là hợp số; hay \(p+10\)là hợp số \(\Rightarrow\)( loại )

Vậy \(p=3\)thỏa mãn đề bài \(\left(đpcm\right)\)

+ Với p = 2 thì p + 1 = 3; p + 5 = 7, đều là số nguyên tố, chọn

+ Với p > 2 thì p lẻ => p + 1 và p + 5 đều là số chẵn, chia hết cho 2

Mà 1 < 2 < p + 1; p + 5 => p + 1 và p + 5 là hợp số, loại

Vậy p = 2

Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p=3k+1 hoặc 3k+2

Nếu p=3k+1 thì p+5=3k+1+5=3k+6 chia hết cho 3, ko là số nguyên tố

Nếu p=3k+2 thì p+1=3k+2+1=3k+3 chia hết cho 3, ko là nguyên tố

Vậy p là số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 3, vậy p=2 hoặc p=3

Với p=2 thì p+1=2+1=3, là SNt

p+5=2+5=7, thỏa mãn là SNT

p=3 thì p+1=4, là hợp số, loại

Do đó p=2

Bài 1:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố

2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố

3 + 4 = 7 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn

Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.

Bài 2:

Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3

p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3

Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3

Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3

Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.

Bài 3:

a) Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

 Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố

p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) không là số nguyên tố

p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p > 3 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất

Câu 1:* Nếu p=2 => p+2=2+2=4 là hợp số (trái với đề bài)

* Nếu p=3 => p+2=3+2=5 là số nguyên tố 

                 => p+4=3+4=7 là số nguyên tố

=> p=3 thỏa mãn đề bài

* Nếu p là số nguyên tố; p>3 => p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈ N*)

* Nếu p=3k+1 => p+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1)

Vì 3 ⋮ 3 => 3(k+1) ⋮ 3 => p+2 ⋮ 3, mà p+2 là số nguyên tố lớn hơn 3 => p+2 là hợp số (trái với đề bài)

* Nếu p=3k+2 => p+4=3k+2+4=3k+6=3k+3.2=3(k+2)

Vì 3 ⋮ 3 => 3(k+2) ⋮ 3 => p+4 ⋮ 3, mà p+4 là số nguyên tố lớn hơn 3 => p+4 là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p=3 thỏa mãn đề bài