Bài 1:Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 2. Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 3). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 3:
a) Tìm số nguyên tố p,sao cho p + 4 và p + 8 cũng là các số nguyên tố.
b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 cũng là các số nguyên tố.
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 12 ước số.
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: a) 7n + 10 và 5n + 7 ; b) 2n + 3 và 4n + 8
c) 4n + 3 và 2n + 3 ; d) 7n + 13 và 2n + 4 ; e) 9n + 24 và 3n + 4 ; g) 18n + 3 và 21n + 7
Bài 1:
Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố
2 + 4 = 6 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố
3 + 4 = 7 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãn
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn
Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn
Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.
Bài 2:
Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3
p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3
Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3
Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3
Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.
Bài 3:
a) Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố
p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố
p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãn
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) không là số nguyên tố
p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p > 3 không thỏa mãn
Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất
Bài 3:
b) Nếu p = 2 thì p + 6 = 2 + 6 = 8 không là số nguyên tố
p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố
p + 12 = 2 + 12 = 14 không là số nguyên tố
p + 14 = 2 + 14 = 16 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 6 = 3 + 6 = 9 không là số nguyên tố
p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố
p + 12 = 3 + 12 = 15 không là số nguyên tố
p + 14 = 3 + 14 = 17 không là số nguyên tố
Vậy p = 3 không thỏa mãn
Nếu p = 5 thì p + 6 = 5 + 6 = 11 là số nguyên tố
p + 8 = 5 + 8 = 13 là số nguyên tố
p + 12 = 5 + 12 = 17 là số nguyên tố
p + 14 = 5 + 14 = 19 là số nguyên tố
Vậy p = 5 thỏa mãn
Nếu p > 5 thì \(\left[{}\begin{matrix}p=5k+1\\p=5k+2\\p=5k+3\\p=5k+4\end{matrix}\right.\)
Nếu p = 5k + 1 thì p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 = 5(k + 3) không là số nguyên tố
Vậy p = 5k + 1 không thỏa mãn
Nếu p = 5k + 2 thì p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 = 5(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 5k + 2 không thỏa mãn
Nếu p = 5k + 3 thì p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + 15 = 5(k + 3) không là số nguyên tố
Vậy p = 5k + 3 không thỏa mãn
Nếu p = 5k + 4 thì p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 = 5(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 5k + 4 không thỏa mãn
Vậy p = 5 thỏa mãn duy nhất
Bài 1:
Xét trường hợp p=2 thì p+2=4(loại)
Xét trường hợp p=3 thì p+2=5 và p+4=7(nhận)
Xét trường hợp p>3 thì \(p=3k+1\left(k\in N\right)\) hoặc \(p=3k+2\left(k\in N\right)\)
Nếu p=3k+1 thì p+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1)(loại)
Nếu p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)(loại)
Vậy: p=3