Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\left(m-1\right)x-m^2-2m=\left(m-2\right)x-m^2-m+1\)

\(\Leftrightarrow x=m+1\)

\(\Rightarrow y=\left(m-1\right)\left(m+1\right)-m^2-2m=-2m-1\)

\(\Rightarrow Q\left(m+1;-2m-1\right)\)

Mà \(2x_Q+y_Q=2m+2-2m-1=1\) \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow y_Q=-2x_Q+1\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow Q\) luôn thuộc đường thẳng cố định \(y=-2x+1\)

xfgb

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)

Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)

pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)

Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ là:

$x^2=2x-m\iff x^2-2x+m=0$ (1)

Ta có: ${\Delta }^{{}^{}}=1-m$.

Điều kiện để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra $1-m>0\iff m<1$ (*).

Khi đó $x_1$, $x_2$ là các hoành độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ nên $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình hoành độ của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

Tọa độ giao điểm của (d2) và (d3) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-x+3\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=2 vào (d1), ta được:

\(\left(m^2-1\right)+m^2-5=2\)

=>\(2m^2=8\)

=>\(m^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)

M thuộc d, quỹ tích những điểm N thỏa mãn \(2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}\) là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-2\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích N là đường thẳng d' có pt \(x+y-6=0\)

d' không cắt (C)  nên không tồn tại cặp điểm M, N nào thỏa mãn yêu cầu

(d) // (d') : y = -x + 3 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+3=-1\\n-2\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\n\ne5\end{matrix}\right.\)

<=> (d) : \(y=-x+n-2\)

Thay x = -2 vào (d'') : y = 3x + 4 

<=> y = -6 + 4 = -2 

Vậy (d) cắt (d'') tại A(-2;-2) 

<=> -2 = 2 + n - 2 <=> n = -2 (tmđk) 

Vậy (d) : y = -x -4