a: Xét tứ giác ABQN có

\(\widehat{BQN}=\widehat{QNA}=\widehat{NAB}=90^0\)

=>ABQN là hình chữ nhật

b: Xét ΔCAD có

DN,CH là các đường cao

DN cắt CH tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔCAD

=>AM\(\perp\)CD

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

=>\(HA=\sqrt{HB\cdot HC}\)

Vì \(\widehat{ABO}\)là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AB và dây cung BD ( đường kính AB )

\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\frac{1}{2}.\widehat{BOD}=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Chứng mình ương tự với \(\widehat{ACO}\), suy ra \(\widehat{ACO}=90^o\)

Xét tứ giác ABOC có : 

Góc ABO và góc ACO là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ( theo tính chất tổng hai góc đối bằng 180 độ ... )

Gọi I là trung điểm của AB

Có tam giác ABO vuông tại B, trung tuyến là BI

=> BI = 1/2.AO=AI=IO (1)

Tam giác ACO vuông tại C, có trung tuyến là CI

=> CI=1/2.AO=AI=IO (2)

Từ (1) và (2) => BI = AI = IO = IC

=> I cách đều 4 đỉnh tứ giác ABOC 

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC , có bán kinh R= 1/2.AO

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC

b: Xét (O) có

ΔCND nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCND vuông tại N

=>CN\(\perp\)ND tại N

=>CN\(\perp\)AD tại N

Xét ΔDCA vuông tại C có CN là đường cao

nên \(AN\cdot AD=AC^2\left(3\right)\)

Ta có: OA là trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOCA vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AC^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AN\cdot AD=AH\cdot AO\)

c: Ta có: \(AH\cdot AO=AN\cdot AD\)

=>\(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AN}{AO}\)

Xét ΔAHN và ΔADO có

\(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AN}{AO}\)

\(\widehat{HAN}\) chung

Do đó: ΔAHN đồng dạng với ΔADO

=>\(\widehat{AHN}=\widehat{ADO}\)

Ta có: ΔOCA vuông tại C

=>\(CO^2+CA^2=OA^2\)

=>\(CA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(CA=R\sqrt{3}\)

Ta có: ΔDCA vuông tại C

=>\(DC^2+CA^2=DA^2\)

=>\(DA^2=\left(2R\right)^2+\left(R\sqrt{3}\right)^2=7R^2\)

=>\(DA=R\sqrt{7}\)

Xét ΔDCA vuông tại C có \(sinCDA=\dfrac{CA}{DA}\)

=>\(sinCDA=\dfrac{R\sqrt{3}}{R\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{3}{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

=>\(sinAHN=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

trong \(\Delta ABC\) vuông tại A

AB=AC.tanC=10.tan30=5,77

CB=\(\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{10^2+5,77^2}=11,55\)

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5,77.10}{11,55}=5\)

\(\widehat{B}=90-\widehat{C}=90-30=60\)

xet tg AMH vuong tai M co; AH² = AM² + HM²

tg BMH co; BM² = BH²-HN²

cong 2 pt ban toi da nhan ra chua ban co thay AM=AN ; HM = HN thay vao ban se thay phep dieu ky

ma toi mang den cho ban la dpcm