Gọi (C): x^2+y^2-2ax-2by+c=0 là PT đường tròn ngoại tiêpΔACB

Theo đề, ta có: 

2^2+(-1)^2-4a+2b+c=0 và 1+4+2a-4b+c=0 và 16+1+8a+2b+c=0

=>-4a+2b+c=-5 và 2a-4b+c=-5 và 8a+2b+c=-17

=>a=-1; b=-1; c=-7

=>x^2+y^2+2x+2y-7=0

=>x^2+2x+1+y^2+2y+1=9

=>(x+1)^2+(y+1)^2=9

Có \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{13}\)

Do ABC là tam giác vuông nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là M

\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=R^2=AM^2=13\)

Lên mạng dò "Định lí Lyness" và "Đường tròn Sawayama" để biết thêm chi tiết.

Thôi nói đại luôn cho rồi...

Gọi \(I\) là tâm nội tiếp tam giác \(ABC\).

Qua \(I\) vẽ \(EF⊥AI\) trong đó \(E\in AB,F\in AC\).

Dựng điểm \(K\) sao cho \(KE⊥AB,KF⊥AC\).

Đường tròn \(\left(K,KE\right)\) là đường tròn cần dựng.

CM: Theo định lí Lyness về đường tròn mixtillinear (tự tìm trên mạng) thì đường tròn tiếp xúc 2 cạnh của tam giác ABC tại \(E\) và \(F\)và tiếp xúc trong \(\left(ABC\right)\) phải có \(EF\) qua tâm nội tiếp \(I\) của tam giác. Điều ngược lại vẫn thoả.

a)

– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Phương trình đường cao BD:

BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận  là một vtpt

BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0

+ Phương trình đường cao CE:

CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận  là một vtpt

CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.

Trực tâm H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT2 = BT2

⇒ (x – 4)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 7)2

⇒ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (1)

+ TB = TC ⇒ TB2 = TC2

⇒ (x – 2)2 + (y – 7)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2

⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).

⇒ T, H, G thẳng hàng.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(x + 5)2 + (y – 1)2 = 85

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} = {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( { - 5 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {1; - 2} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2}}  = 5\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\)

\(A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)\) thuộc (C) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{36 + 4 + 12a - 4b + c = 0}\\
{16 + 4 + 8a + 4b + c = 0}\\
{25 + 25 + 10a - 10b + c = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{12a - 4b + c = - 40}\\
{8a + 4b + c = - 20}\\
{10a - 10b + c = - 50}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - 1}\\
{b = 2} \,\rm{(thỏa mãn)}\\
{c = - 20}
\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y -20 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)

a: vecto BC=(2;-5)

=>VTPT là (5;2)

Phương trình (d) là:

5(x+1)+2(y-2)=0

=>5x+5+2y-4=0

=>5x+2y+1=0

b: Gọi (C): x^2+y^2-2ax-2by+c=0

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-1\right)^2+2^2+2a-4b+c=0\\1^2+1^2-2a-2b+c=0\\9+16-6a+8b+c=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a-4b+c=-1-4=-5\\-2a-2b+c=-2\\-6a+8b+c=-25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{19}{8}\\b=-\dfrac{13}{4}\\c=-\dfrac{53}{4}\end{matrix}\right.\)

=>(C): x^2+y^2+19/4x+13/2y-53/4=0

=>x^2+2*x*19/8+361/64+y^2+2*y*13/4+169/16=1885/64

=>(x+19/8)^2+(y+13/4)^2=1885/64