Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

a: Xét ΔABO vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BOA}=60^0\)

b: ΔOBC cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

=>\(\widehat{OCA}=90^0\)

c: Gọi I là giao điểm của CO với BD

Ta có: BD//AC

OC\(\perp\)AC

Do đó: OC\(\perp\)BD tại I

=>OI là khoảng cách từ O xuống BD

OC\(\perp\)CA

=>OC là khoảng cách từ O xuống AC

Vì BD//AC và I,O,C thẳng hàng

nên khoảng cách từ BD đến AC sẽ là khoảng cách từ I đến C

=>Khoảng cách từ BD đến AC là IC

Ta có: ΔBOA=ΔCOA

=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

=>\(\widehat{COA}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^0\)(ΔACH vuông tại H)

\(\widehat{OCA}+\widehat{OAC}=90^0\)(ΔOCA vuông tại C)

Do đó: \(\widehat{ACH}=\widehat{OCA}=60^0\)

BD//AC

=>\(\widehat{DBC}=\widehat{BCA}\)(hai góc so le trong)

=>\(\widehat{DBC}=60^0\)

\(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{COA}=60^0+60^0=120^0\)

Xét (O) có \(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

nên \(\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Xét ΔBDC có \(\widehat{BDC}=\widehat{DBC}=60^0\)

nên ΔBDC đều

Ta có: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BH=\dfrac{R\cdot R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBDC đều có CI là đường cao

nên \(CI=BC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

=>Khoảng cách từ dây AC đến dây BD là 3R/2

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y-3\right)=xy\\\left(x-1\right)\left(y-2\right)=xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy-3x+2y-6=xy\\xy-2x-y+2=xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+2y=6\\-2x-y=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x+2y=6\\-4x-2y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x+2y-4x-2y=6-4\\2x+y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-7x=2\\y=2-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{7}\\y=2-2\cdot\dfrac{-2}{7}=2+\dfrac{4}{7}=\dfrac{18}{7}\end{matrix}\right.\)

1: \(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

2: \(A=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\sqrt{x}+3=3\cdot3=9\)

=>\(\sqrt{x}=9-3=6\)

=>x=36(nhận)

3: \(\sqrt{x}+3>=3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(A=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}< =\dfrac{3}{3}=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=0

\(-\left(-\sqrt{123}\right)^2=-123\)

ai trả lời hộ mik ko

b.

\(K\ge x^3\) \(\Leftrightarrow-x\ge x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+x\le0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x\le0\) (do \(x^2+1>0;\forall x\))

Kết hợp ĐKXĐ \(x\ge0\)

\(\Rightarrow x=0\)

Câu a đúng nha

b) Giả sử: x thỏa mãn \(K\ge x^3\) là \(x\le0\)

(1) : x=0

\(< =>-0=0^3\)

\(< =>0=0\)(Luôn đúng)

(2):x<0

\(< =>-\left(-x\right)>\left(-x\right)^3\)

\(< =>x>\left(-x\right)^3\)( Luôn đúng do \(\left(-x\right)^3\) luôn âm)

(1)(2) => Để thỏa mãn \(K\ge x^3\) thì \(x\le0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y+1\right)=xy-1\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy+x-y-1=xy-1\\xy-2x-2y+4=xy-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\-2x-2y=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-2y=0\\2x+2y=12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x=12\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=x=3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y+1\right)=xy-1\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x-y-1=xy-1\\xy-2x-2y+4=xy-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\)

ai muốn giải giúp mik ko

ai giúp mik trả lời đc câu hỏi đc ko ạ

a: \(A=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}\)

ĐKXĐ: x>=0

\(A=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

Thay x=4 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{4-2+1}{2+1}=\dfrac{5-2}{3}=1\)

b: M=A*B

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\left(\dfrac{2x+6\sqrt{x}+7}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\left(\dfrac{2x+6\sqrt{x}+7}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{2x+6\sqrt{x}+7-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}\)

Để M>2 thì M-2>0

=>\(\dfrac{\sqrt{x}+6-2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}>0\)

=>\(-\sqrt{x}+4>0\)

=>\(-\sqrt{x}>-4\)

=>\(\sqrt{x}< 4\)

=>0<=x<16

c: Để M là số nguyên thì \(\sqrt{x}+6⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1+5⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(5⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;-2;4;-6\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;4\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;16\right\}\)

a.

Xét tứ giác ADBK có: hai đường chéo AB và DK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

\(\Rightarrow ADBK\) là hình bình hành

Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AB\perp BC\Rightarrow AB\) là đường cao tam giác ACK

Theo cmt, ADBK là hbh \(\Rightarrow BK=AD\)

Mà \(AD=BC\) (ABCD là hcn)

\(\Rightarrow BK=BC\Rightarrow AB\) là trung tuyến tam giác ACK

\(\Rightarrow AB\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ACK cân tại A

b.

Do IE là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IAM:

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\) (1)

Do IF là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IMK:

\(\dfrac{FM}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\) (2)

Mà I là trung điểm AK \(\Rightarrow IA=IK\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FK}\Rightarrow EF||AK\) (định lý Talet đảo)

Theo c/m câu a do ADBK là hình bình hành \(\Rightarrow AK||BD\)

\(\Rightarrow EF||BD\)