Bài 1: Căn bậc hai

1. Căn bậc hai số học

Ở lớp dưới ta đã biết:

• Căn bậc hai của số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \(x^2=a\).
• Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai, đó là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là \(\sqrt{a}\) và số âm kí hiệu là \(-\sqrt{a}\).
• Số 0 chỉ có đúng một căn bậc hai là chính nó.

Ví dụ:

• Số \(9\) có hai căn bậc hai là \(3\) và \(-3\) (do \(3^3=9;\left(-3\right)^2=9\)).
• Số \(\dfrac{4}{9}\) có hai căn bậc hai là \(\dfrac{2}{3}\) và \(-\dfrac{2}{3}\) (do \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\)).
• Số \(2\) có hai căn bậc hai là \(\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{2}\).
• Số \(-7\) không có căn bậc hai.

Ta có định nghĩa: 

Với số dương \(a\), số \(\sqrt{a}\) được gọi là căn bậc hai số học của \(a\).

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Nói cách khác, trong hai căn bậc hai của số dương \(a\), số mang giá trị dương được gọi là căn bậc hai số học, đồng thời kí hiệu là \(\sqrt{a}\).

\(x=\sqrt{a}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=a\end{matrix}\right.\)

Ví dụ: Căn bậc hai số học của \(16\) là \(4\), vì \(4>0,4^2=16\). Ta viết: \(\sqrt{16}=4\).

- Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số không âm được gọi là phép khai phương.

- Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng biết được các căn bậc hai của số đó.

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 81 là 9 nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và \(-9\).

2. So sánh hai căn bậc hai

Ta có định lí:

Với hai số \(a\) và \(b\) không âm, ta có:

\(a>b\Leftrightarrow\sqrt{a}>\sqrt{b}\)

Ví dụ 1: 

• So sánh 4 và \(\sqrt{15}\) ta có: \(4=\sqrt{16};16>15\Leftrightarrow\sqrt{16}>\sqrt{15}\Leftrightarrow4>\sqrt{15}\).
• So sánh \(\sqrt{18}\) và 5 ta có: \(5=\sqrt{25};18< 25\Leftrightarrow\sqrt{18}< \sqrt{25}\Leftrightarrow\sqrt{18}< 5\).

Ví dụ 2: Tìm \(x\) không âm biết \(\sqrt{x}>4\)?

Do \(4=\sqrt{16}\) nên \(\sqrt{x}>4\Leftrightarrow\sqrt{x}>\sqrt{16}\).

Do \(x\) không âm nên \(\sqrt{x}>\sqrt{16}\Leftrightarrow x>16\).

Vậy \(x>16\).

Ví dụ 3: Tìm \(x\) không âm biết \(\sqrt{x}\le3\)?

Ta có \(3=\sqrt{9}\) nên \(\sqrt{x}\le3\Leftrightarrow\sqrt{x}\le\sqrt{9}\).

Do \(x\ge0\) nên \(\sqrt{x}\le\sqrt{9}\Leftrightarrow x\le9\).

Vậy \(0\le x\le9\).