Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng hợp lí các quy tắc và phép biến đổi căn thức:

- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

- Phép khai phương một tích, một thương;

- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

- Phép trục căn thức ở mẫu.

Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rồi áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Ví dụ 1: \(A=\dfrac{4}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}-3\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{4\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}+1\right)}{\sqrt{5}+1}-3.\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(=\dfrac{4\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}-\sqrt{3}-\sqrt{3}\)\(=2\left(\sqrt{3}+1\right)-2\sqrt{3}=2\).

Ví dụ 2: Với \(x>0\)

\(B=\left(x\sqrt{\dfrac{6}{x}}+\sqrt{\dfrac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\)

\(=\left(x\sqrt{\dfrac{6x}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{3.2x}{3^2}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\)

\(=\left(\sqrt{6x}+\dfrac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\)

\(=\sqrt{6x}\left(1+\dfrac{1}{3}+1\right):\sqrt{6x}=\dfrac{7}{3}\).

Ví dụ 3: Tìm \(x\) biết \(\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}=4\)?

Điều kiện: \(x\ge-1\)

Ta có: \(\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{16\left(x+1\right)}-\sqrt{9\left(x+1\right)}+\sqrt{4\left(x+1\right)}+\sqrt{x+1}=4\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(4-3+2+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x+1}=4\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)

Vậy \(x=0\) là giá trị cần tìm.

Trên thực tế, ta thường gặp các biểu thức rút gọn biểu thức chứa căn ở mẫu, đòi hỏi áp dụng hợp lí và thành thạo tất cả các phép biến đổi, đặc biệt là phép trục căn thức và khử mẫu. 

Ta có thể tóm tắt các bước làm bài tập rút gọn biểu thức chứa căn như sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
• Bước 2: Phân tích các mẫu số thành nhân tử.
• Bước 3: Quy đồng biểu thức.
• Bước 4: Rút gọn tử số , đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất.

Ví dụ 4: Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\)

a) Tìm điều kiện để \(P\) xác định.

b) Rút gọn \(P\).

c) Tìm \(a\) để \(P< 0\).

Lời giải:

a) Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\\sqrt{a}\ne0\\\sqrt{a}-1\ne0\\\sqrt{a}+1\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\sqrt{a}\ne1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\ne1\end{matrix}\right.\)

b) \(P=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

\(=\left(\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\dfrac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1}\)

\(=\dfrac{\left(a-1\right)\left(-4\sqrt{a}\right)}{\left(2\sqrt{a}\right)^2}=\dfrac{\left(1-a\right)4\sqrt{a}}{4a}=\dfrac{1-a}{\sqrt{a}}\).

c) Để \(P< 0\Leftrightarrow\dfrac{1-a}{\sqrt{a}}< 0\)

\(\Leftrightarrow1-a< 0\) (do \(\sqrt{a}>0,\forall a>0,a\ne1\))

\(\Leftrightarrow a>1\) (thỏa mãn).

Vậy khi \(a>1\) thì \(P< 0\).

Trong thực tế, ta còn thường gặp các bài toán với giá trị nguyên, các bài toán cực trị... đòi hỏi sự vận dụng nhiều kiến thức đã học.