Bài 6: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với \(a\ge0;b\ge0\) ta có \(\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}.\sqrt{b}=\left|a\right|\sqrt{b}=a\sqrt{b}\).

Phép biến đổi \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\) (với \(a\ge0;b\ge0\)) như trên được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

+) Đôi khi ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Ví dụ: \(\sqrt{4^2.3}=4\sqrt{3}\); \(\sqrt{50}=\sqrt{25.2}=\sqrt{5^2.2}=5\sqrt{2}\);...

+) Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Ví dụ: 

• \(\sqrt{8}+5\sqrt{2}-\sqrt{18}=\sqrt{2^2.2}+5\sqrt{2}-\sqrt{3^2.2}\\ =2\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\left(2+5-3\right)\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{45}-2\sqrt{3}+\sqrt{20}+\sqrt{3}=\sqrt{3^2.5}-2\sqrt{3}+\sqrt{2^2.5}+\sqrt{3}\\ =3\sqrt{5}-2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{3}=\left(3+2\right)\sqrt{5}-\left(2-1\right)\sqrt{3}=5\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

Một cách tổng quát: 

Với hai biểu thức \(A,B\) với \(B\ge0\), ta có: \(\sqrt{A^2B}=\left|A\right|\sqrt{B}\), tức là:

\(\sqrt{A^2B}=A\sqrt{B}\) với \(A\ge0;B\ge0\).

\(\sqrt{A^2B}=-A\sqrt{B}\) với \(A< 0;B\ge0\).

Ví dụ 1: Với \(x\ge0;y\ge0\) ta có: \(\sqrt{20x^2y}=\sqrt{\left(2x\right)^2.5y}=\left|2x\right|\sqrt{5y}=2x\sqrt{5y}\)

Với \(y< 0\) ta có: \(\sqrt{72x^4y^2}=\sqrt{\left(6x^2y\right)^2.2}=\left|6x^2y\right|\sqrt{2}=-6x^2y\sqrt{2}\).

Ví dụ 2: Với \(x\ge0\) ta có: 

\(\sqrt{45x}-2\sqrt{5x}+\sqrt{8}+\sqrt{5x}=\sqrt{3^2.5x}-2\sqrt{5x}+\sqrt{2^2.2}+\sqrt{5x}\\ =3\sqrt{5x}-2\sqrt{5x}+\sqrt{5x}+2\sqrt{2}=\left(3-2+1\right)\sqrt{5x}+2\sqrt{2}=2\left(\sqrt{5x}+\sqrt{2}\right)\)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn là phép biến đổi ngược của đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Với \(A\ge0;B\ge0\) ta có \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\);

Với \(A< 0;B\ge0\) ta có \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\).

Ví dụ 1: \(3\sqrt{2}=\sqrt{3^2.2}=\sqrt{18}\); \(-2\sqrt{6}=-\sqrt{2^2.6}=-\sqrt{24}\)

Ví dụ 2: Với \(a\ge0\) ta có \(5a^2\sqrt{3a}=\sqrt{\left(5a^2\right)^2.3a}=\sqrt{25.a^4.3a}=\sqrt{75a^5}\);

Với \(ab>0\) ta có \(-2a^2\sqrt{5ab}=-\sqrt{\left(2a^2\right)^2.5ab}=-\sqrt{4a^4.5ab}=-\sqrt{20a^5b}\)

• Ta có thể dùng phép đưa thừa số vào trong (ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

Ví dụ 1: So sánh \(2\sqrt{5}\) và \(3\sqrt{2}\)?

Ta có \(2\sqrt{5}=\sqrt{2^2.5}=\sqrt{20};3\sqrt{2}=\sqrt{3^2.2}=\sqrt{18}\).

Do \(20>18\Rightarrow\sqrt{20}>\sqrt{18}\Rightarrow2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\).

Ví dụ 2: So sánh \(\sqrt{40}\) và \(3\sqrt{10}\)?

Cách 1: \(\sqrt{40}=\sqrt{2^2.10}=2\sqrt{10}< 3\sqrt{10}\).

Cách 2: \(3\sqrt{10}=\sqrt{3^2.10}=\sqrt{90}>\sqrt{40}\) (do \(90>40\)).

• Ta có thể sử dụng linh hoạt các phép đưa thừa số vào trong (ra ngoài) dấu căn để rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai.

Ví dụ:

• Với \(a>\dfrac{1}{2}\) ta có: 

\(\dfrac{5}{2a-1}\sqrt{3\left(1-4a+4a^2\right)}=\dfrac{5}{2a-1}\sqrt{3\left(2a-1\right)^2}\\ =\dfrac{5}{2a-1}.\sqrt{3}.\left|2a-1\right|=\dfrac{5\sqrt{3}\left(2a-1\right)}{2a-1}=3\sqrt{3}\)

• Với \(x\ge0;y\ge0;x< y\) ta có: 

\(\dfrac{1}{x^2-y^2}\sqrt{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{\left(x-y\right)^2}}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{3}\left|x-y\right|}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=-\dfrac{\sqrt{3}\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=-\dfrac{\sqrt{3}}{x+y}\)