a: Xét ΔABO vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{BOA}=60^0\)
b: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc BOC
Xét ΔOBA và ΔOCA có
OB=OC
\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOCA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)
=>\(\widehat{OCA}=90^0\)
c: Gọi I là giao điểm của CO với BD
Ta có: BD//AC
OC\(\perp\)AC
Do đó: OC\(\perp\)BD tại I
=>OI là khoảng cách từ O xuống BD
OC\(\perp\)CA
=>OC là khoảng cách từ O xuống AC
Vì BD//AC và I,O,C thẳng hàng
nên khoảng cách từ BD đến AC sẽ là khoảng cách từ I đến C
=>Khoảng cách từ BD đến AC là IC
Ta có: ΔBOA=ΔCOA
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
=>\(\widehat{COA}=60^0\)
Ta có: \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^0\)(ΔACH vuông tại H)
\(\widehat{OCA}+\widehat{OAC}=90^0\)(ΔOCA vuông tại C)
Do đó: \(\widehat{ACH}=\widehat{OCA}=60^0\)
BD//AC
=>\(\widehat{DBC}=\widehat{BCA}\)(hai góc so le trong)
=>\(\widehat{DBC}=60^0\)
\(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{COA}=60^0+60^0=120^0\)
Xét (O) có \(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
nên \(\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)
Xét ΔBDC có \(\widehat{BDC}=\widehat{DBC}=60^0\)
nên ΔBDC đều
Ta có: ΔOBA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)
=>\(BH=\dfrac{R\cdot R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
ΔOBC cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot BH=R\sqrt{3}\)
Xét ΔBDC đều có CI là đường cao
nên \(CI=BC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R}{2}\)
=>Khoảng cách từ dây AC đến dây BD là 3R/2