Xét n3-n=n(n2-1)=(n-1)n(n+1)
Mà (n-1)n(n+1) \(⋮6\)
->n3-n\(⋮6\)(ĐPCM)
Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta có: \(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow n⋮2\) (trong 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho 2)
\(n⋮3\) (trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3)
\(\Rightarrow n⋮2\times3\)
\(\Rightarrow n⋮6\)
Ta có:
\(n^3-n\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì n là số nguyên nên \(n-1;n;n+1\)là 3 số nguyên liên tiếp
suy ra ba số đó phải chia hết cho 3 và có ít nhất một số chẵn chia hết cho 2 nên ta có số đó chia hết cho 6 vì ước chung lớn nhất của 2,3 là 1
Ta có: n3 – n = n﴾n2 – 1﴿ = n﴾n – 1﴿﴾n + 1﴿
Với n ∈ Z là tích của ba số nguyên liên tiếp.
Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n3 – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.