Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácVới hai số \(a,b\) bất kì, sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức đã học, ta có:
\(\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)
\(=a^2+ab+ba+b^2\)
\(=a^2+2ab+b^2\).
Ta thấy kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, trong trường hợp \(A,B\) là các biểu thức tùy ý, ta cũng có kết quả:
\(\left(A+B\right)^2=A^2+2AB+B^2\quad\left(1\right)\)
Ta gọi biểu thức (1) là hằng đằng thức số 1 - Bình phương của một tổng.
Ví dụ 1:
+) \(\left(x+1\right)^2=x^2+2.x.1+1^2=x^2+2x+1.\)
+) \(\left(2x+3\right)^2=\left(2x\right)^2+2.2x.3+3^9=4x^2+12x+9.\)
+) \(\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2+2.\dfrac{1}{2}x.\dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{9}.\)
+) \(\left(x+2y\right)^2=x^2+2.x.2y+\left(2y\right)^2=x^2+4xy+4y^2.\)
Ta có thể dùng hằng đẳng thức số 1 theo chiều ngược lại để rút gọn các biểu thức.
Ví dụ 2:
+) \(x^2+6x+9=x^2+2.x.3+3^2=\left(x+3\right)^2.\)
+) \(16x^2+8x+1=\left(4x\right)^2+2.4x.1+1^2=\left(4x+1\right)^2.\)
Ví dụ 3: Tính \(101^2\)?
Ta thấy, nếu tính trực tiếp phép tính trên thì sẽ gặp nhiều khó khăn, vì số liệu khá lớn. Với ví dụ này, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức số 1 để tính nhanh kết quả.
Ta có: \(101^2=\left(100+1\right)^2=100^2+2.100.1+1^2=10000+200+1=10201.\)
Với hai số \(a,b\) bất kì, sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức đã học, ta có:
\(\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\)
\(=a^2-ab-ba+b^2\)
\(=a^2-2ab+b^2.\)
Kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, trong trường hợp \(A,B\) là các biểu thức bất kì, ta cũng có:
\(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\quad\left(2\right)\)
Ta gọi biểu thức (2) là hằng đẳng thức số 2 - Bình phương của một hiệu.
Ví dụ 1:
+) \(\left(2x-1\right)^2=\left(2x\right)^2-2.2x.1+1^2=4x^2-4x+1.\)
+) \(\left(\dfrac{1}{3}-x\right)^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-2.\dfrac{1}{3}.x+x^2=x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}.\)
+) \(\left(2x-5y\right)^2=\left(2x\right)^2-2.2x.5y+\left(5y\right)^2=4x^2-20xy+25y^2.\)
Ta cũng có thể dùng hằng đẳng thức số 2 theo chiều ngược lại để rút gọn các biểu thức.
Ví dụ 2:
+) \(\dfrac{1}{4}x^2-3x+9=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2-2.\dfrac{1}{2}x.3+3^2=\left(\dfrac{1}{2}x-9\right)^2.\)
+) \(9x^2-24xy+16y^2=\left(3x\right)^2-2.3x.4y+\left(4y\right)^2=\left(3x-4y\right)^2.\)
Cũng tương tự hằng đẳng thức số 1, ta có thể dùng hằng đẳng thức số 2 để tính nhanh một số kết quả.
Ví dụ 3: \(49^2=\left(50-1\right)^2=50^2-2.50.1+1^2=2500-100+1=2401.\)
Nhận xét: \(\left(A-B\right)^2=\left(B-A\right)^2\), với \(A,B\) là các biểu thức bất kì.
Thật vậy, ta dễ thấy \(A-B\) và \(B-A\) là hai số đối nhau. Do đó, bình phương của chúng bằng nhau.
Với \(a,b\) là hai số bất kì, ta có:
\(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab-ba-b^2=a^2-b^2\).
Kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, nếu \(A,B\) là hai biểu thức bất kì, ta cũng có:
\(A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)\quad\left(3\right)\)
Ta gọi biểu thức (3) là hằng đẳng thức số 3 - Hiệu hai bình phương.
Ví dụ 1:
+) \(\left(x-3\right)\left(x+3\right)=x^2-3^3=x^2-9.\)
+) \(\left(4x-5y\right)\left(4x+5y\right)=\left(4x\right)^2-\left(5y\right)^2=16x^2-25y^2.\)
Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức số 3 theo chiều ngược lại để phân tích đa thức thành nhân tử hoặc tính nhanh các phép tính.
Ví dụ 2: \(36x^2-\dfrac{1}{4}=\left(6x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(6x+\dfrac{1}{2}\right).\)
Ví dụ 3:
+) \(101.99=\left(100+1\right)\left(100-1\right)=100^2-1^2=10000-1=9999.\)
+) \(26.34=\left(30-4\right)\left(30+4\right)=30^2-4^2=900-16=884.\)
Nhận xét: \(A^2-B^2\ne B^2-A^2,\forall A\ne B.\)