Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

1. Phương pháp nhóm các hạng tử

Xét ví dụ sau: Phân tích đa thức \(x^2-3x+xy-3y\) thành nhân tử.

Nhận thấy: Ta không thể tìm được nhân tử chung của tất cả các số hạng trong đa thức, cũng không thể đưa đa thức về hằng đẳng thức nào. Do đó, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học là không khả thi.

Với ví dụ này, ta có thể làm như sau:

\(x^2-3x+xy-3y=\left(x^2-3x\right)+\left(xy-3y\right)\\ =x\left(x-3\right)+y\left(x-3\right)=\left(x-3\right)\left(x+y\right).\)

Trong cách làm trên, trước hết ta nhóm các số hạng trong đa thức thành 2 nhóm, sau đó biến đổi để xuất hiện nhân tử chung \(x-3\). Đến đây ta thực hiện như phương pháp đặt nhân tử chung đã học.

Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.

• Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

• Đến đây ta áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ: Phân tích đa thức \(xz+yz-2x-2y\) thành nhân tử.

Ta có: \(xz+yz-2x-2y=\left(xz+yz\right)-\left(2x+2y\right)\)

\(=z\left(x+y\right)-2\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z-2\right).\)

Nhận thấy, trong ví dụ trên, ta có thể nhóm theo cách khác như sau:

\(xz+yz-2x-2y=\left(xz-2x\right)+\left(yz-2y\right)\\ =x\left(z-2\right)+y\left(z-2\right)=\left(x+y\right)\left(z-2\right).\)

Quay lại ví dụ ở đầu bài học, ta cũng có thể nhóm các hạng tử theo cách khác:

\(x^2-3x+xy-3y=\left(x^2+xy\right)-\left(3x+3y\right)\\ =x\left(x+y\right)-3\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x-3\right).\)

Rõ ràng hai kết quả thu được là như nhau. 

Nhận xét: Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử với nhau. Dù nhóm theo cách nào thì kết quả cũng là duy nhất

Chú ý:

• Khi phân tích thành nhân tử, ta cần phân tích đến cuối cùng. 
• Khi nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung, cần đặc biệt chú ý đến dấu của các hạng tử trong và ngoài dấu ngoặc.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(x^2-4xy+2x-8y\);

b) \(9x^2-6x-y^2+1\);

c) \(x^2-x-y^2-y\).

Lời giải:

a) \(x^2-4xy+2x-8y=\left(x^2-4xy\right)+\left(2x-8y\right)\)

\(=x\left(x-4y\right)+2\left(x-4y\right)=\left(x+2\right)\left(x-4y\right).\)

b) \(9x^2-6x-y^2+1=\left(9x^2-6x+1\right)-y^2\)

\(=\left(3x-1\right)^2-y^2=\left(3x-y-1\right)\left(3x+y-1\right).\)

c) \(x^2-x-y^2-y=\left(x^2-y^2\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x-y-1\right).\)

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức \(A=x^2-2xy-4z^2+y^2\) khi \(x=100;y=50;z=25\).

Lời giải:

Ta có: \(A=x^2-2xy-4z^2+y^2\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)-4z^2\)

\(=\left(x-y\right)^2-\left(2z\right)^2\)

\(=\left(x-y+2z\right)\left(x-y-2z\right)\).

Khi \(x=100;y=50;z=25\) ta có: 

\(x-y-2z=100-50-2.25=0\) \(\Rightarrow A=0.\)

Ví dụ 3: Tìm \(x\) biết:

a) \(2\left(x+3\right)-x^2-3x=0\);

b) \(x^3+x^2+x+1=0\).

Lời giải:

a) \(2\left(x+3\right)-x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+3\right)-\left(x^2+3x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+3\right)-x\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(2-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\2-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right..\)

Vậy \(x=-3;x=2\) là các giá trị cần tìm.

b) \(x^3+x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+x^2\right)+\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x^2+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2=-1\left(L\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1.\)

Vậy \(x=-1\) là giá trị cần tìm.