Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

1. Ví dụ

Trong các bài học trước, ta đã biết 3 phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử. Trên thực tế, có một số đa thức không thể phân tích được nếu chỉ dùng một trong các phương pháp trên, ví dụ \(3x^3-6x^2y+3xy^2\). Lúc này, việc phối hợp các phương pháp đã học với nhau sẽ giúp ta giải quyết được bài toán.

Cụ thể: \(3x^3-6x^2y+3xy^2=3x\left(x^2-2xy+y^2\right)=3x\left(x-y\right)^2.\)

Trong ví dụ trên, ta đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, sau đó dùng hằng đẳng thức để đưa đa thức về dạng nhân tử.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức \(x^2-4xy+4y^2-4\) thành nhân tử.

Ta có: \(x^2-4xy+4y^2-4=\left(x^2-4xy+4y^2\right)-4\)

\(=\left(x-2y\right)^2-2^2=\left(x-2y-2\right)\left(x-2y+2\right).\)

Trong ví dụ trên, ta thực hiện nhóm các hạng tử một cách thích hợp, sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức \(x^2+4x-2xy-4y+y^2\) thành nhân tử.

Ta có: \(x^2+4x-2xy-4y+y^2\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(4x-4y\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-y+4\right).\)

Để làm được bài toán này, ta đã dùng cả 3 phương pháp: nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung.

Như vậy, trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể phối hợp và sắp xếp thứ tự thực hiện các phương pháp đã học một cách linh hoạt và hợp lí:

• Đặt nhân tử chung.
• Dùng hằng đẳng thức.
• Nhóm các hạng tử.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(2x^3y-2xy^3-4xy^2-2xy\);

b) \(x^2+6x-y^2+4y+5\).

Lời giải:

a) \(2x^3y-2xy^3-4xy^2-2xy=2xy\left(x^2-y^2-2y-1\right)\)

\(=2xy\left[x^2-\left(y^2+2y+1\right)\right]\)

\(=2xy\left[x^2-\left(y+1\right)^2\right]\)

\(=2xy\left(x+y+1\right)\left(x-y-1\right).\)

b) \(x^2+6x-y^2+4y+5=\left(x^2+6x+9\right)-\left(y^2-4y+4\right)\)

\(=\left(x+3\right)^2-\left(y-2\right)^2\)

\(=\left(x+3+y-2\right)\left(x+3-y+2\right)\)

\(=\left(x+y+1\right)\left(x-y+5\right).\)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức \(x^2-4x+3\) thành nhân tử.

Ta thấy: Với đa thức trên, ta không thể dùng ngay một trong các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức hay nhóm các hạng tử. Ở đây, ta sẽ thực hiện như sau:

+) Bước 1: Tách số hạng \(-4x\) để áp dụng được phương pháp nhóm hạng tử:

\(x^2-4x+3=x^2-x-3x+3\) (ở đây ta tách \(-4x\) thành tổng hai số hạng \(-x,-3x\))

+) Bước 2: Sử dụng các phương pháp đã học

\(x^2-4x+3=x^2-x-3x+3=x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=\left(x-3\right)\left(x-1\right).\)

Ví dụ 3: Phân tích đa thức \(2x^2+x-1\) thành nhân tử.

Ta có: \(2x^2+x-1=2x^2-x+2x-1=x\left(2x-1\right)+\left(2x-1\right)=\left(x+1\right)\left(2x-1\right).\)

Trong ví dụ này, ta cũng thực hiện thao tác tách số hạng \(x\) thành \(2x-x\), sau đó áp dụng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung đã học.

Một cách tổng quát:

Với một số đa thức dạng \(P=ax^2+bx+c\):

• Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}m+n=b\\m.n=a.c\end{matrix}\right.\).
• Tách \(bx=mx+nx\), ta có: \(P=ax^2+mx+nx+c\).
• Dùng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung một cách thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ: Phân tích \(x^2+5x+6\) thành nhân tử.

Ta nhẩm được: \(2+3=5;2.3=6.1=6\)

Do đó, ta có:

\(x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)=\left(x+3\right)\left(x+2\right).\)

Nhận xét: 

• Trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể thực hiện các thao tác thêm, bớt, tách các số hạng cùng với phối hợp các phương pháp đã học.
• Ta vẫn thực hiện phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lí để giải quyết các bài toán tìm \(x\), giải phương trình, chứng minh... như các bài học trước.

Ví dụ: \(x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right).\)