Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp)

1. Lập phương của một tổng

Cho \(a,b\) là hai số bất kì. Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức, ta có:

\(\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(=a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\)

Ta thấy kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, khi \(A,B\) là các biểu thức, ta cũng có kết quả:

\(\left(A+B\right)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\quad\left(1\right)\)

Biểu thức (1) được gọi là Hằng đẳng thức số 4 - Lập phương của một tổng.

Nhận xét: Trong biểu thức (1), vai trò của \(A\) và \(B\) là như nhau. Do đó ta có:

\(\left(A+B\right)^3=\left(B+A\right)^3.\)

Ví dụ 1:

+) \(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2.1+3x.1^2+1^3=x^3+3x^2+3x+1.\)

+) \(\left(x+y\right)^3=x^2+3x^2y+3xy^2+y^3.\)

+) \(\left(2x+y\right)^3=\left(2x\right)^3+3.\left(2x\right)^2y+3.\left(2x\right)y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.\)

Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức số 4 trong các bài tập tìm \(x\) hay tính nhanh một số biểu thức.

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(x^3+3x^3+3x+9=0\).

Ta có: \(x^3+3x^3+3x+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=-8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=-8=\left(-2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x+1=-2\)

\(\Leftrightarrow x=-3\).

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(A=x^3+6x^2+12x+8\) tại \(x=8\)? 

Thay vì phải thay \(x=8\) vào tất cả các vị trí chứa \(x\), ta có thể dùng hằng đẳng thức số 4 để rút gọn kết quả trước. Cụ thể:

\(A=x^3+6x^2+12x+8\)

\(=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3=\left(x+2\right)^3.\)

Khi đó, với \(x=8\) ta có: \(A=\left(8+2\right)^3=10^3=1000.\)

2. Lập phương của một hiệu

Với \(a,b\) là các số bất kì, ta có:

\(\left(a-b\right)^3=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\)

\(=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\)

\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\)

Ta thấy kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, nếu \(A,B\) là các biểu thức, ta cũng có:

\(\left(A-B\right)^3=A^2-3A^2B+3AB^2-B^3\quad\left(2\right)\)

Biểu thức (2) được gọi là Hằng đẳng thức số 5 - Lập phương của một hiệu.

Nhận xét: Ta có: \(\left(B-A\right)^3=B^3-3B^2A+3AB^2-A^3\\ =-\left(A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\right)=-\left(A-B\right)^3.\) 

Do đó: 

\(\left(A-B\right)^3\ne\left(B-A\right)^3,\forall A\ne B.\)

Ví dụ: \(\left(5-2\right)^3=3^3=27;\left(2-5\right)^3=\left(-3\right)^3=-27.\)

Ví dụ 1: 

+) \(\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3=x^3-3x^2+3x-1.\)

+) \(\left(x-y\right)^3=x^2-3x^2y+3xy^2-y^3.\)

+) \(\left(\dfrac{1}{2}x-2\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2.2+3.\left(\dfrac{1}{2}x\right).2^2-2^3=\dfrac{1}{8}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+6x-8.\)

Tương tự như hằng đẳng thức số 4, ta cũng có thể dùng hằng đẳng thức số 5 một cách linh hoạt trong các bài toán tìm \(x\) hay tính giá trị biểu thức.

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(x^3+3x=3x^2+2\).

Ta có: \(x^3+3x=3x^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3=1=1^3\)

\(\Leftrightarrow x-1=1\)

\(\Leftrightarrow x=2.\)

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(B=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\) tại \(x=14,y=2\).

Ta có thể dùng hằng đẳng thức số 5 để rút gọn biểu thức \(B\) trước khi tính giá trị biểu thức. Cụ thể:

\(B=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)

\(=x^3-3.x^2.2y+3.x.\left(2y\right)^2-\left(2y\right)^3=\left(x-2y\right)^3.\)

Khi đó, với \(x=14,y=2\), ta có: \(B=\left(14-2.2\right)^3=10^3=1000.\)