Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp)

1. Tổng hai lập phương

Với \(a,b\) là các số bất kì, ta có:

\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)

\(=a^3+b^3.\)

Kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, với \(A,B\) là các biểu thức, ta có:

\(A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)\quad\left(1\right)\)

Biểu thức (1) được gọi là Hằng đẳng thức số 6 - Tổng hai lập phương.

Lưu ý: Ta quy ước gọi \(A^2-AB+B^2\) là bình phương thiếu của hiệu \(A-B\).

Ví dụ: 

+) \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right).\)

+) \(x^3+8=x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right).\)

+) \(27a^3+8=\left(3a\right)^3+2^3=\left(3a+2\right)\left(9a^2-6a+4\right).\)

Ta cũng có thể dùng Hằng đẳng thức số 6 theo chiều ngược lại.

Ví dụ: 

+) \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\right)=x^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=x^3+\dfrac{1}{8}.\)

+) \(\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)=\left(2x\right)^3+1^3=8x^3+1.\)

Chú ý: Ở bài trước ta đã biết: \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right).\)

Do đó tổng hai lập phương của hai số \(a,b\) còn có thể viết dưới dạng:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right).\)

2. Hiệu hai lập phương

Với \(a,b\) là các số bất kì, ta có:

\(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)

\(=a^3-b^3.\)

Kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, với \(A,B\) là các biểu thức, ta cũng có:

\(A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)\quad\left(2\right)\)

Biểu thức (2) được gọi là Hằng đẳng thức số 7 - Hiệu hai lập phương.

Lưu ý: Ta quy ước gọi \(A^2+AB+B^2\) là bình phương thiếu của tổng \(A+B\).

Ví dụ:

+) \(x^3-8=x^3-2^3=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right).\)

+) \(27x^3-y^3=\left(3x\right)^3-y^3=\left(3x-y\right)\left(9x^2+3xy+y^2\right).\)

+) \(\dfrac{1}{27}-a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-a^3=\left(\dfrac{1}{3}-a\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}a+a^2\right).\)

Ta cũng có thể dùng hằng đẳng thức số 7 theo chiều ngược lại một cách linh hoạt.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(M=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-x^3+3x+9\)?

Ta có: \(M=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-x^3+3x+9\)

\(=x^3-1-x^3+3x+9=3x+8.\)

Chú ý: Ở bài trước, ta đã biết: \(\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

\(\Rightarrow a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3a^2b-3ab^2=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right).\)

Do đó, hiệu hai lập phương của hai số \(a,b\) còn có thể viết dưới dạng:

\(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right).\)

Như vậy, ta có 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau:

1. \(\left(A+B\right)^2=A^2+2AB+B^2.\)
2. \(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2.\)
3. \(A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right).\)
4. \(\left(A+B\right)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3.\)
5. \(\left(A-B\right)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3.\)
6. \(A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right).\)
7. \(A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right).\)