Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức

Cho \(A,B\) là hai đa thức, \(B\ne0\). Ta nói Đa thức \(A\) chia hết cho đa thức \(B\) nếu tồn tại một đa thức \(Q\) sao cho \(A=B.Q\).

Khi đó, \(A\) được gọi là đa thức bị chia, \(B\) được gọi là đa thức chia, \(Q\) được gọi là đa thức thương (gọi tắt là thương). 

Kí hiệu: \(Q=A:B\) hay \(Q=\dfrac{A}{B}\).

Sau đây, ta sẽ xét trường hợp đơn giản nhất của phép chia 2 đa thức, đó là: Chia đơn thức cho đơn thức.

1. Quy tắc

Ở lớp 7, ta đã biết:

Với mọi \(x\ne0;m,n\in N,m\ge n\) thì: 

• \(x^m:x^n=x^{m-n}\) nếu \(m>n\);
• \(x^m:x^n=1\) nếu \(m=n\).

Ví dụ: \(x^6:x^2=x^{6-2}=x^4\); \(y^7:y^4=y^{7-4}=y^3\);...

Đây là trường hợp đơn giản nhất của chia hai đơn thức.

Khi có thêm hệ số, ta sẽ thực hiện chia riêng phần hệ số và phần biến, sau đó nhân các kết quả với nhau.

Ví dụ: \(12x^3:2x=\left(12:2\right).\left(x^3:x\right)=6x^2\); 

\(26y^{12}:\left(-3y^4\right)=\left(26:\left(-3\right)\right)\left(y^{12}:y^4\right)=-\dfrac{26}{3}y^8\);...

Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể gặp những đơn thức nhiều biến bên cạnh đơn thức một biến như trên, chẳng hạn \(14x^4yz^2:3xyz\). 

Ta có quy tắc chia đơn thức (áp dụng cho cả đơn thức một biến và nhiều biến):

Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\)), ta làm như sau:

• Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\).
• Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\).
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ: thực hiện phép chia trong ví dụ phía trên, ta có:

\(14x^4yz^2:3xyz=\left(14:3\right)\left(x^4:x\right)\left(y:y\right)\left(z^2:z\right)=\dfrac{14}{3}x^3z\).

Ta nhận thấy, trong phép chia trên, đơn thức chia có 3 biến \(x,y,z\) thì đa thức bị chia cũng có đủ 3 biến \(x,y,z\); hơn nữa các số mũ của từng biến \(x,y,z\) trong đơn thức bị chia đều lớn hơn hoặc bằng các số mũ tương ứng của \(x,y,z\) trong đơn thức chia, do đó phép chia này được gọi là phép chia hết.

Nhận xét: Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\) nếu mỗi biến của \(B\) đều là biến của \(A\) với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong \(A\).

Ví dụ: 

• \(2x^3y:4xy^2\) không là phép chia hết do số mũ của biến \(y\) trong đơn thức chia (mũ 2) lớn hơn số mũ của nó trong đơn thức bị chia (mũ 1).
• \(6a^2b^4:7ab^2c\) không là phép chia hết vì trong đơn thức chia có biến \(c\), còn đa thức bị chia thì không có.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Thực hiện các phép chia sau:

a) \(20x^3y:12xy\);

b) \(\left(-24x^4y^4z^2\right):\left(-x^2yz^2\right)\);

c) \(\dfrac{1}{2}x^5y^2z^3:\left(-3xy^2\right)\).

Lời giải:

a) Ta có: \(20x^3y:12xy=\left(20:12\right)\left(x^3:x\right)\left(y:y\right)=\dfrac{5}{3}x^2.\)

b) Ta có: \(\left(-24x^4y^4z^2\right):\left(-x^2yz^2\right)=\left(-24:\left(-1\right)\right)\left(x^4:x^2\right)\left(y^4:y\right)\left(z^2:z^2\right)=24x^2y^3.\)

c) Ta có: \(\dfrac{1}{2}x^5y^2z^3:\left(-3xy^2\right)=\left(\dfrac{1}{2}:\left(-3\right)\right)\left(x^5:x\right)\left(y^2:y^2\right)z^3=-\dfrac{1}{6}x^3z^3.\)

Nhận xét:

• Không phải mọi biến trong đơn thức bị chia đều có mặt trong đơn thức chia (như biến \(z\) trong ví dụ c) chẳng hạn). Với những biến như vậy, trong quá trình làm ta giữ nguyên.
• Cần chú ý dấu của biểu thức khi thực hiện phép chia.

Ví dụ 2: Thực hiện các phép chia sau:

a) \(\left(-x\right)^5:\left(-x\right)^2\);

b) \(x^{12}:\left(-x\right)^3\);

c) \(\left(-x^2yz^3\right)^4:\left(xy^2z\right)^2\);

d) \(\left(4x^3y^2\right)^3:\left(-xy\right)^3\).

Lời giải:

a) \(\left(-x\right)^5:\left(-x\right)^2=\left(-x\right)^{5-2}=\left(-x\right)^3=\left(-1\right)^3x^3=-x^3\).

Ta cũng có thể thực hiện theo cách khác như sau:

\(\left(-x\right)^5:\left(-x\right)^2=\left(-x^5\right):x^2=\left(\left(-1\right):1\right)\left(x^5:x^2\right)=-x^3\).

b) Ta có \(\left(-x\right)^3=\left(-1\right)^3x^3=-x^3\)

\(\Rightarrow x^{12}:\left(-x\right)^3=x^{12}:\left(-x^3\right)=\left(1:\left(-1\right)\right)\left(x^{12}:x^3\right)=-x^9\).

c) \(\left(-x^2yz^3\right)^4:\left(xy^2z\right)^2=\left(x^8y^4z^{12}\right):\left(x^2y^4z^2\right)=\left(x^8:x^2\right)\left(y^4:y^4\right)\left(z^{12}:z^2\right)=x^6z^{10}\).

d) \(\left(4x^3y^2\right)^3:\left(-xy\right)^3=\left(64x^9y^6\right):\left(-x^3y^3\right)=-64x^6y^3.\)

Ta cũng có thể thực hiện theo cách khác:

\(\left(4x^3y^2\right)^3:\left(-xy\right)^3=\left[4x^3y^2:\left(-xy\right)\right]^3=\left(-4x^2y\right)^3=-64x^6y^3\).

Chú ý:

• Với \(\left(x^m\right)^n=x^{m.n},\forall m,n\in N\).
• Trong một phép tính, ta có thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, nhưng phải dẫn đến cùng một kết quả.