Question

Chứng minh :

a) \(x^2-2xy+y^2+1>0\) với mọi số thực x và y

b) \(x-x^2-1< 0\) với mọi số thực x

Answer 1

Answer 2

a) x² - 2xy + y² + 1

= ( x - y)² + 1

Do : ( x - y)² lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số tực x và y

--> ( x -y)² + 1 lớn hơn hoặc bằng 1 > 0 với mọi số thực x và y

Khi và chỉ khi : x - y =0 --> x =y

b) x - x² - 1

= - ( x² - x + 1)

= - [ x² - 2.\(\dfrac{1}{2}\)x + (\(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{1}{4}+1\)]

= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² + \(\dfrac{1}{4}-1\)

= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{3}{4}\)

Do : - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực x

--> - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{3}{4}\) nhỏ hơn hoặc bằng - \(\dfrac{3}{4}\)với mọi số thực x

Khi và chỉ khi : x - \(\dfrac{1}{2}\)=0 --> x = \(\dfrac{1}{2}\)