Bài 3b: Luyện kĩ năng: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\). Hàm số nào sau đây thỏa mãn  \(\int\limits^2_1\frac{xdx}{1+\sqrt{x-1}}=\int\limits^2_1f\left(t\right)\text{dt}\)?

1. \(f\left(t\right)=\dfrac{2t^3+2t}{t+1}\).
2. \(f\left(t\right)=2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\).
3. \(f\left(t\right)=2t\sqrt{t}-1\).
4. \(f\left(t\right)=3t-\ln\left|t\right|\).

Khẳng định nào sau đây sai ​?

1. \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{d}t\).
2. \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{d}t\).
3. \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\).
4. \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x\).

Hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\) có nguyên hàm $F(x)$ trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn \(F\left(e\right)=2e\). Hàm số $F(x)$ là

1. \(1+2e-\ln x\).
2. \(\ln x+2e-1\).
3. \(-\frac{1}{x^2}+2e+\frac{1}{e^2}\).
4. \(\ln\left|x+2e-1\right|\).

Giá trị \(e^{\int\limits^5_1\frac{\text{dx}}{2x-1}}\) bằng​

1. \(3\).
2. \(8\).
3. \(18\).
4. \(25\).

Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ sau.

Khẳng định nào sau đây sai?​

1. \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\).
2. \(S=\int\limits^b_a\left(-f\left(x\right)\right)\text{dx}\).
3. \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{dx}\).
4. \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\right|\).

Hàm số nào trong các hàm dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số  \(f\left(x\right)=1+\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\) ?​

1. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+\left(1+\cos\alpha\right)x+\cos\alpha-3}{x+1}\).
2. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+\left(1+\sin2\alpha\right)x+\sin2\alpha-3}{x+1}\).
3. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\).
4. \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+x-3}{x+1}\).

Đặt \(I=\int\limits^3_1\frac{dx}{e^x-1}\) và \(t=e^x-1\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

1. \(\text{dt}=e^xdx\)
2. \(I=\ln\left(e^2+e+1\right)-2\)
3. \(I=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{d}t\)
4. \(\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\ln t-\ln\left(t+1\right)+C\)

Cho hàm số $F(x)$ có \(F'\left(x\right)=\frac{1}{x},\forall x\ne0\) và \(F\left(1\right)=0\). Hàm số $F(x)$ là

1. \(-\frac{1}{x^2}\).
2. \(\left\{\begin{matrix}\ln x,x>0\\\ln\left(-x\right)+C,x< 0\end{matrix}\right.\) , C là hằng số tùy ý.
3. \(\ln\left|x\right|\).
4. \(e^x-e\).

Đặt \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin x.\cos^3x.e^{\sin^2x}\text{d}x\) và \(t=\sin^2x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\).
2. \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\).
3. \(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\).
4. \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\).

Hàm số \(f\left(x\right)=\cos3x\cos x\) có nguyên hàm $F(x)$ thỏa mãn đồ thị \(y=F\left(x\right)\) đi qua gốc tọa độ. Hàm số $F(x)$ là

1. \(\frac{\sin4x}{8}+\frac{\sin2x}{4}\).
2. \(\frac{\cos4x}{8}+\frac{\cos2x}{4}\).
3. \(\frac{\sin8x}{8}+\frac{\sin4x}{4}\).
4. \(\frac{\text{ }\cos8x}{8}+\frac{\cos4x}{4}\).

Hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(\int\limits^9_0f\left(x\right)dx=9\). Khi đó \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x\) bằng

1. \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=3\).
2. \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=27\).
3. \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=-3\).
4. \(\int\limits^3_0f\left(3x\right)\text{d}x=1\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=x\) và \(y=\sqrt{x}\) bằng

1. \(\dfrac{1}{6}\).
2. \(\dfrac{1}{3}\).
3. \(\dfrac{1}{5}\).
4. \(\dfrac{1}{7}\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(\int x^e\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\).
2. \(\int\cos2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\).
3. \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\).
4. \(\int\frac{1}{x}\text{d}x=\ln\left|x\right|+C\).

Trong các hàm số \(f\left(t\right)\) sau, hàm số nào thỏa mãn \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1-\tan x\right)^4\frac{1}{\cos^2x}\text{d}x=\int\limits^1_0f\left(t\right)\text{dt}\)?

1. \(f\left(t\right)=t^4\).
2. \(f\left(t\right)=t^2\).
3. \(f\left(t\right)=\left(1-t\right)^2\).
4. \(f\left(t\right)=\left(t-1\right)^3\).

Cho biết \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\sin2x+\cos2x-e^x+C\), hàm số $f(x)$ là

1. \(\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{2}\sin2x-e^x\).
2. \(2\cos2x+2\sin2x-e^x\).
3. \(2\cos2x-2\sin2x+e^x\).
4. \(2\cos2x-2\sin2x-e^x\).

Đặt \(I=\int\limits^{\ln5}_{\ln3}\frac{dx}{e^x+2e^{-x}-3}\) và \(t=e^x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(I=\ln3-\ln2\)
2. \(\dfrac{1}{e^x+2e^{-x}-3}=\dfrac{t}{\left(t-1\right)\left(t-2\right)}\)
3. \(I=\int\limits^5_3\left(\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t-1}\right)\text{dt}\)
4. \(\int\left(\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t-1}\right)\text{dt}=\ln\dfrac{t-2}{t-1}+C\)

Cho \(\alpha\in\mathbb{R}\). Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\)?

1. \(F\left(x\right)=\sin x\).
2. \(F\left(x\right)=2\cos\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\).
3. \(F\left(x\right)=2\sin\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\).
4. \(F\left(x\right)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}-\alpha\right)\).

Đặt \(I=\int\limits^2_1\frac{x}{1+\sqrt{x-1}}dx\) và \(t=1+\sqrt{x-1}\). Khẳng định nào sau đây sai?

1. \(x\text{d}x=\left(t^2-2t+2\right)\left(2t-2\right)\text{dt}\).
2. \(I=\dfrac{11}{3}+4\ln2\).
3. \(I=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{d}t\).
4. \(I=\left(\dfrac{2}{3}t^3-3t^2+8t-4\ln\left|t\right|\right)|^2_1\).

Biết \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\ln\left(x^4+x^2+1\right)+C\), hàm số $f(x)$ là

1. \(\frac{1}{x^4+x^2+1}\).
2. \(e^{x^4+x^2+1}\).
3. \(\frac{4x^3+2x}{x^4+x^2+1}\).
4. \(\frac{4x^3-2x}{x^4+x^2+1}\).

Khẳng định nào sau đây sai​?

1. \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{dt}\).
2. \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}\).
3. \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=0\).
4. \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{d}x\).

Hàm số \(\cos2x\) có nguyên hàm $f(x)$ thỏa mãn \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\pi\). Hàm số $f(x)$ là

1. \(\sin x+2\pi\).
2. \(x+\sin2x+\frac{3\pi}{2}\).
3. \(2x+\pi\).
4. \(\frac{1}{2}\sin2x+2\pi\).

Đặt \(I=\int\limits^6_{3\sqrt{2}}\frac{\text{d}x}{x\sqrt{x^2-9}}\) và \(x=\dfrac{3}{\cos t}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. \(\text{d}x=\frac{3\tan t\text{ }}{\cos t}\text{d}t\).
2. \(x\sqrt{x^2-9}=\dfrac{9\tan t}{\cos t}\).
3. \(I=\dfrac{1}{3}\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\text{dt}\).
4. \(I=\dfrac{\pi}{36}\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=-\cos x\). $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn  \(F\left(2017\pi\right)=1\). Hàm số $F(x)$ là

1. \(\sin x+1\)
2. \(-\sin x+1\)
3. \(\frac{x}{2017\pi}\)
4. \(-\sin x+C\)

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ sau.

Khẳng định nào sau đây đúng?

1. \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\).
2. \(S=-\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\).
3. \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{dx}\).
4. \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\right|\).

Hàm số \(F\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) thỏa mãn \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{2},F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4},F\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\pi\) và tồn tại  \(a,b\)  sao cho \(F'\left(x\right)=\dfrac{a\sin^2x\cos^2x+b\sqrt{3}}{\sin^2x\cos^2x}\). Hàm số $F(x)$ là

1. \(9x-2\pi\).
2. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)-\frac{\pi}{12}\).
3. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)\).
4. \(x+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\left(\tan x-\cot x\right)+\frac{\pi}{6}\).

Hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\) là

1. \(\frac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\).
2. \(\frac{3\left(4x+1\right)}{4}\sqrt[3]{4x+1}+C\).
3. \(\frac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\).
4. \(\frac{16}{3}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\).

Cho biết \(F\left(x\right)=\cos^3x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

1. \(f\left(x\right)=3\sin x\cos^2x\).
2. \(f\left(x\right)=-3\sin x\cos^2x\).
3. \(f\left(x\right)=-3\sin^2x\cos x\).
4. \(f\left(x\right)=3\cos^2x\).

Hàm số \(e^{2x}\) có nguyên hàm $f(x)$ thỏa mãn đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) đi qua điểm \(M\left(\ln\sqrt{2};2\right)\). Hàm số $f(x)$ là

1. \(e^{2x}+1\).
2. \(e^{2x}\).
3. \(\frac{1}{2}e^{2x}+1\).
4. \(2e^{2x}\).

Hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left(0\right)=\frac{\pi}{2}\). Biết \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0f'\left(x\right)\text{d}x=2\pi\). Giá trị \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng

1. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\).
2. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\).
3. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}\).
4. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{5\pi}{2}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y^2=8x,x=2\) bằng

1. \(\dfrac{32}{3}\).
2. \(\dfrac{3}{128}\).
3. \(\dfrac{61\sqrt{3}}{2}\).
4. \(\dfrac{2\pi}{3}\).