Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\int x^e\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\). \(\int\cos2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\). \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\). \(\int\frac{1}{x}\text{d}x=\ln\left|x\right|+C\). Hướng dẫn giải:Cách 1: Cần nhớ các công thức nguyên hàm cơ bản (trang 97 SGK) để thấy khẳng định sai là \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) .
Cách 2: Tính đạo hàm vế phải và xét xem đạo hàm tính được có bằng hàm số dưới dấu tích phân hay không. Các em cần thành thạo tính đạo hàm:
\(\left(\dfrac{x^{e+1}}{e+1}\right)'=\dfrac{1}{e+1}\left(x^{e+1}\right)'=\dfrac{1}{e+1}.\left(e+1\right)x^e=x^e\Rightarrow\int x^e\text{dx}=\dfrac{x^{e+1}}{e+1}+C.\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\sin2x\right)'=\dfrac{1}{2}\left(\sin2x\right)'=\dfrac{1}{2}.\left(2x\right)'.\left(\cos2x\right)=\cos2x.\)
\(\left(\dfrac{e^{x+1}}{x+1}\right)'=\dfrac{\left(e^{x+1}\right)'.\left(x+1\right)-e^{x+1}.\left(x+1\right)'}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{e^{x+1}.x+e^{x+1}-e^{x+1}}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{xe^{x+1}}{\left(x+1\right)^2}\ne e^x\), vậy khẳng định \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) là sai.
Cách 3 (dùng MTCT): Để kiểm tra đẳng thức \(\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C\) bằng MTCT ta làm như sau:
Bước 1: Chọn \(a,b\) sao cho \(f\left(x\right)\) xác định trên đoạn \(\left[a;b\right]\).
Bước 2:Tính \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\) và lưu kết quả vào ô nhớ M.
Bước 3: Nhập biểu thức \(F\left(x\right)\).
Bước 4: CALC với \(x=a.\)
Bước 5: CALC với \(x=b.\)
Bước 6: Tính Ans - PreAns - M. Nếu kết quả khác \(0\) thì chắc chắn đẳng thức đang xét sai. Nếu kết quả bằng \(0\) thì nhiều khả năng đẳng thức đúng, nên thử lại với những \(a,b\) chọn khác. Ta thấy khẳng định sai là \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\).
| \(\int x^e\text{d}x=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C\) | \(\int\cos2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C\) | \(\int e^x\text{d}x=\frac{e^{x+1}}{x+1}+C\) | \(\int\frac{1}{x}\text{d}x=\ln\left|x\right|+C\) |
|
|
 |
 |
 |
