Hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\) là
\(\frac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\). \(\frac{3\left(4x+1\right)}{4}\sqrt[3]{4x+1}+C\). \(\frac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\). \(\frac{16}{3}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (biến đổi vi phân): \(f\left(x\right)=\int\sqrt[3]{4x+1}\text{d}x=\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}\text{d}x=\dfrac{1}{4}\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}d\left(4x+1\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\frac{1}{3}+1}\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}+C\)
\(=\dfrac{1}{4}.\dfrac{3}{4}\left(4x+1\right)^{\dfrac{4}{3}}+C=\dfrac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\)
Cách 2 (tính đạo hàm): Nếu \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C=\dfrac{4}{3}\left(4x+1\right)^{\dfrac{4}{3}}+C\) suy ra \(f'\left(x\right)=\dfrac{4}{3}.\dfrac{4}{3}.\left(4x+1\right)^{\dfrac{1}{3}}.4=\dfrac{64}{9}\sqrt[3]{4x+1}\) nên \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) không phải là đáp số đúng. Tương tự, kiểm tra các đáp số còn lại.
Cách 3 (sử dụng MTCT): Từ giả thiết \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\) ta có \(f'\left(0\right)=1\) hay \(\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}\left(f\left(x\right)\right)|_{x=0}=1.\)
Nếu \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) thì bấm máy tính \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(f\left(x\right)\right)|_{x=0}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{4\left(4x+1\right)\sqrt[3]{4x+1}}{3}\right)|_{x=0}\) kết quả là khác \(1\) : 
nên \(f\left(x\right)=\dfrac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) là đáp số sai. Tương tự kiểm tra các đáp số còn lại.
