Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\). Hàm số nào sau đây thỏa mãn \(\int\limits^2_1\frac{xdx}{1+\sqrt{x-1}}=\int\limits^2_1f\left(t\right)\text{dt}\)?
\(f\left(t\right)=\dfrac{2t^3+2t}{t+1}\). \(f\left(t\right)=2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\). \(f\left(t\right)=2t\sqrt{t}-1\). \(f\left(t\right)=3t-\ln\left|t\right|\). Hướng dẫn giải:\(t=1+\sqrt{x-1}\) \(\Rightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\) và \(\text{dt}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}dx\) \(\Rightarrow dx=2\sqrt{x-1}\text{dt}=2\left(t-1\right)\text{dt}\)
Đổi cận \(x|^2_1\Rightarrow t|^2_1\)
Suy ra:
\(\int\limits^2_1\dfrac{x\text{dx}}{1+\sqrt{x-1}}=\int\limits^2_1\dfrac{\left(t-1\right)^2+1}{t}2\left(t-1\right)\text{dt}=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{dt}\)
Vậy \(f\left(t\right)=2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\).
