Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\sin^2x}{\cos x}\) là

1. \(\tan x+C\).
2. \(-\dfrac{1}{\cos x}+C\).
3. \(\cot x+C\).
4. \(\dfrac{1}{\cos x}+C\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 và y = 2x là

1. \(\dfrac{4}{3}\).
2. \(\dfrac{3}{2}\).
3. \(\dfrac{5}{3}\).
4. \(\dfrac{23}{15}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\left(e+1\right)x\) và \(y=\left(1+e^x\right)x\) là

1. \(1-\dfrac{e}{2}\).
2. \(\dfrac{e}{2}-1\).
3. \(e-1\).
4. \(1-e\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{5x+1}{x^2-6x+9}\).

1. \(\ln\left|x-3\right|-\dfrac{16}{x-3}+C\).
2. \(\dfrac{1}{5}\ln\left|x-3\right|-\dfrac{16}{x-3}+C\).
3. \(\ln\left|x-3\right|+\dfrac{16}{x-3}+C\).
4. \(5\ln\left|x-3\right|-\dfrac{16}{x-3}+C\).

Biết nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) là \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+C\). Vậy hàm số \(f\left(x\right)\) là

1. \(\dfrac{1}{x^2}\).
2. \(-\dfrac{1}{x^2}\).
3. \(\ln\left|x\right|\).
4. \(-\ln\left|x\right|\).

Tìm m để \(t=\int_0^2\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+4}}dx\) là một nghiệm của phương trình \(mt^3+3t^2+m-3\).

1. m = 2.
2. m = -1.
3. m = 4.
4. Đáp án khác.

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f\left(1\right)=0;\int_0^1\left[f'\left(x\right)\right]^2\text{d}x=7\) và \(\int_0^1x^2f\left(x\right)\text{d}x=\dfrac{1}{3}\). Tích phân \(\int_0^1f\left(x\right)\text{d}x\) bằng 

1. \(\dfrac{7}{5}\).
2. \(1\).
3. \(\dfrac{7}{4}\).
4. \(4\).

Cho \(F\left(x\right)=-\dfrac{1}{3x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{f\left(x\right)}{x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)\ln x\) là

1. \(\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{5x^5}+C\).
2. \(\dfrac{\ln x}{x^3}-\dfrac{1}{5x^5}+C\).
3. \(\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{3x^3}+C\).
4. \(-\dfrac{\ln x}{x^3}+\dfrac{1}{3x^3}+C\).

Cho \(F\left(x\right)=x^2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)e^{2x}.\) Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left(x\right)e^{2x}\) là

1. \(-x^2+2x+C\).
2. \(-x^2+x+C\).
3. \(2x^2-2x+C\).
4. \(-2x^2+2x+C\).

Cho  \(\int\limits^{e}_{1}(1+x\ln x){\text{d}x}=ae^2+be+c,\left(a,b,c\in\mathbb{Q}\right).\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1. \(a+b=c\).
2. \(a+b=-c\).
3. \(a-b=-c\).
4. \(a-b=c\).

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\dfrac{\pi}{2}.\) Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục \(Ox\) có thể tích \(V\) bằng 

1. \(\pi-1\).
2. \(\pi\left(\pi-1\right)\).
3. \(\pi+1\).
4. \(\pi\left(\pi+1\right)\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn \(f'\left(x\right)=3-5\sin x\) và \(f\left(0\right)=10.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1. \(f\left(x\right)=3x+5\cos x+5\).
2. \(f\left(x\right)=3x+5\cos x+2\).
3. \(f\left(x\right)=3x-5\cos x+2\).
4. \(f\left(x\right)=3x-5\cos x+15\).

Cho \(\int\limits^6_0f\left(x\right)\text{d}x=12\). Tích phân \(\int\limits^2_0f\left(3x\right)\text{d}x\) bằng

1. \(6\).
2. \(36\).
3. \(2\).
4. \(4\).

Cho \(\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(x\right)\text{d}x=5.\) Tích phân \(\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(f\left(x\right)+2\sin x\right)\text{d}x\)  ​bằng

1. \(7\).
2. \(3\).
3. \(5+\pi\).
4. \(5+\dfrac{\pi}{2}\).

Biết \(\int_1^2\dfrac{\text{d}x}{\left(x+1\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tổng \(a+b+c\) bằng

1. \(24\).
2. \(12\).
3. \(18\).
4. \(46\).

Cho \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0f\left(x\right)\text{d}x=5\) . Tích phân \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(f\left(x\right)+2\sin x\right)\text{d}x\)​ bằng

1.  \(7\).
2. \(5+\dfrac{\pi}{2}\).
3. \(3\).
4. \(5+\pi\).

Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=e^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=1\) . Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng 

1. \(\dfrac{\pi e^2}{2}\).
2. \(\dfrac{\pi\left(e^2+1\right)}{2}\).
3. \(\dfrac{e^2-1}{2}\).
4.  \(\dfrac{\pi\left(e^2-1\right)}{2}\).

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=2\sin x\) là

1. \(2\cos x+C\).
2. \(\sin^2x+C\).
3. \(\sin2x+C\).
4. \(-2\cos x+C\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos3x.\)

1. \(\int\cos3x\text{d}x=\sin3x+C\).
2. \(\int\cos3x\text{d}x=3\sin3x+C\).
3. \(\int\cos3x\text{d}x=\dfrac{1}{3}\sin3x+C\).
4. \(\int\cos3x\text{d}x=-\dfrac{1}{3}\sin3x+C\).

\(\int\limits^2_1\dfrac{\text{d}x}{2x+3}\) bằng

1. \(2\ln\dfrac{7}{5}\).
2. \(\dfrac{1}{2}\ln35\).
3. \(\ln\dfrac{7}{5}\).
4. \(\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{7}{5}\).